13 Вопрос

4. Гладкие поверхности. Элементарная поверхность Р называется гладкой класса С^k (k≥1), если она допускает параметризацию

x=x(u,v)

y=y(u,v)

z=z(u,v)

такую, что выполняются следующие два условия:

1) функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) непрерывны по каждой переменной и имеют непрерывные частные производные до порядка k включительно;

2) rang( )=2

Простая поверхность называется гладкой класса С^k (k≥1), если у каждой ее внутренней точки М существует такая окрестность, что часть фигуры, содержащаяся в этой окрестности, является гладкой (элементарной) поверхностью класса С^k

5. Криволинейные координаты на поверхности. Координатные линии. Пусть гладкая элементарная поверхность F задана уравнениями (1). Если в уравнениях (1) положить υ= у_о = const и менять только и, но так как (u,v₀) принадлежит G , то мы получим векторную функцию одного скалярного аргумента и:r=r(u,v₀), и, значит, точка М, такая, что ОМ=r, опишет некоторую гладкую линию, лежащую на поверхности F. Эту линию называют линией и. Вектор r_u′ является вектором касательной к линии и в точке (u,v₀). Аналогично через каждую точку М принадл. F проходит гладкая линия и=сопзt или линия v. Вектор r_v′ является вектором касательной к этой линии. Если известна точка (u,v) принадл.G, то по формулам (1) определяется и точка М(х,у,z) принадл. F. Следовательно, параметры и и v вполне определяют точку М на поверхности . Учитывая это, параметры и, v называют криволинейными координатами точки М на поверхности F.

Таким образом параметризация поверхности F при помощи уравнений (1) (т. е. гомеоморфизм f: G→F) всегда приводит к определенной системе криволинейных координат u, v на этой поверхности. Причем семейство линий и, как и семейство линий v, покрывает поверхность F так, что через каждую точку М принадл. F проходят в точности одна линия и и одна линия v по различным направлениям (касательные векторы r_u′ и r_v′ к этим линиям в точке М не коллинеарны). Говорят, что линии и и v образуют на поверхности координатную сеть.

Задание линии на поверхности. Пусть элементарная гладкая поверхность F класса С^k задана в области G с R² векторным уравнением r=r(u,v),

Положим: u=u(t), v=v(t)

где t пробегает некоторый промежуток IсR, такой, что (и(t),v(t)) принадл. G при любом t принадл. I

Пусть в промежутке I функции и(t) и v(t) имеют непрерывные производные до порядка k включительно и производные —,— не обращаются в нуль одновременно ни в одной точке из I.

Подставив выражения переменных и и v по формулам (9) в уравнение (8), получим: .

r=r(u(t),v(t))

Правая часть уравнения (10) есть векторная функция одного скалярного аргумента t. Это уравнение определяет линию класса С^k , лежащую на поверхности F, и называется. пространственным уравнением кривой на поверхности. Уравнения (9) называются внутренними уравнениями кривой на поверхности.

8. Касательная плоскость и нормаль. Пусть элементарная гладкая поверхность F класса С^k (k≥1), задана векторным уравнением r=r(u,v)

Л/₀ (г/о - ^г'о) ~ произвольная точка этой поверхности.

Прямая, проходящая через точку М₀, называется упг.г!^р.пмтц_прямой-к поверхности в точке Л/₀, если она является касательной к некоторой кривой, лежащей на поверхности.

Теорема. Все касательные прямые к поверхности в точке Л/₀ лежат в одной плоскости. Любая прямая этой плоскости является касательной прямой к поверхности в точке Л/₀.

Доказательство.Щ Рассмотрим произвольную гладкую кривую у, лежащую на поверхности Р и проходящую через точку А/₀, и допустим, что она определена уравнениями:

(и = ы(/),

{у = у(0-г =г(|*(/),у(/))- пространственное уравнение линии у. Найдем

касательный вектор к линии у в точке Л/₀: л;' - г'_ии\ + г'^у\.

(Л/у,г,¹)- касательная прямая к кривой / в точке А/₀, направляющий вектор г/ которой разложен по векторам г'_н и г.', а тогда плоскость (А/₀,г_и',/;,'), проходящая через точку Л/₀ и параллельная векторам /;,' и г/, содержит касательную прямую (Л/₀,/-;^г).

(ТГ) Рассмотрим произвольную прямую / = (Л/₀,#), лежащую в плоскости (Л/у.д;/,^'). Направляющий вектор прямой / а ~ аг^ + (Зг', , где а и /? одновременно не равны нулю. Рассмотрим линию у,, лежащую на поверхности /^ги заданную внутренними уравнениями

{и - г./₀ -ь а/, |у = у_о+#, где / пробегает некоторый промежуток так. что (м,у) е О .

Очевидно, что линия /, проходит через точку Л/₀. Пространственное уравнение линии /, имеет вид:

г =г(и₀ -ьог,у_о -(-Д).

Найдем направляющий вектор касательной к кривой /,:

с/г _ _, д.и », ^у

л ""^г" л^{н г}*л'

• ^ </у _д «⁷г - ^

1ак как - = Л,— = р , то - - = л. Следовательно, касательная к линии у. в

Л ^ Л

точке А/₀ совпадает с прямой /Л Щ

•^р4>

Плоскость, в которой лежат касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности Р и проходящим через точку Л/₀, называется касательной

плоскостью к поверхности Г в точке Л/₀. По доказанной теореме эта плоскость определяется точкой Л/₀ и неколлинеарными векторами г'_и и г/. Двумерное векторное направляющее подпространство этой плоскости называют касательным векторным подпространством к поверхности Р в точке Л/₀ и

обозначают через Т_м .

21

Нормалью к гладкой поверхности Р в точке Л/₀ &Р называется прямая, проходящая через точку А/₀ перпендикулярно к касательной плоскости. Вектор ЛГ»^',^'], который перпендикулярен к двум неколлинеарным векторам г_ц',г„', параллельным касательной плоскости в точке М₀, перпендикулярен к касательной плоскости. Следовательно, прямая (М₀,М) является нормалью к поверхности Р в точке Л/₀.

Если гладкая поверхность задана векторной функцией г (и, v) — х(и, v) / + у(и,V)^ + г(и, у)#, то ее касательная плоскость в точке Л/₀ (х₀, >'₀, л₀), где

имеет уравнение

X

- у о

где л-' ,>'' , I , л'[,, >\', г^-частные производные функций л:(«,V)_>X^м^^V)з

/7 =

единичный вектор нормали,

х- х

У-Уо

2-2,

У»

X.

X, X

уравнения нормали.

Лекция № 7. Первая квадратичная форма поверхности, Положительная определенность первой квадратичной формы. Геометрический смысл первой квадратичной формы. Приложения первой квадратичной формы: вычисление длины дуги кривой на поверхности, величины угла между кривыми на поверхности, площади поверхности. Примеры.

Литература

[1] § 5, гл. 2,ч. 4; [2] § 57, гл. VII, раздел 4; [3] § 77, гл. XV, раздел 4; [5] § 17, гл. III, раздел 5; [8] §§ 33 - 36, гл. V; [9] §§ 1 - 3, гл. VI, ч. 2; [10] §§1,2, гл. XI, ч. 2,

ЛЪ^ 1. Первая квадратичная форма поверхности. Пусть Р элементарная гладкая поверхность класса С* (# > 1), заданная уравнением

г = г (и, v) . Найдем дифференциал векторной функции г(м,у) в произвольной точке

Мер с!г - г'_и(1и + г/Л>, откуда имеем

М² = % • ^;Ц)² + 2г; • г^ись + ?; • р;(^)²,

7 ")

обозначим г_ы • г,' -г_и - Е, г'_и • /;' = Р, г/• г', - г* - С, получим

Ш1г Ф")^{2 +} 2^д?ц^у + Сг(^)². (1)^

Правая часть формулы (1) является квадратичной формой относительно \ ди> ^, заданной в точке М. Эту форму называют первой квадратичной формой " поверхности (метрической формой поверхности, линейным элементом поверхности).

2. Положительная определенность первой квадратичной формы. Теорема!. Первая квадратичная форма поверхности является

положительно определенной.

Доказательство. Т. к. поверхность Р является гладкой, то векторы г'_и и г„^г линейно независимы, и если ди и й?у не обращаются в нуль одновременно (т. е. если с1г Ф 0), то \3г} )0.

3. Геометрический смысл первой квадратичной формы поверхности. Рассмотрим на гладкой поверхности Р, заданной уравнением

г=Я(«,у), (2)

гладкую линию у:

и=м(0, У=у(0, (3)

где параметр I изменяется в некотором промежутке /. Пространственным уравнением данной линии является следующее:

г =г(«(ОХО). (4)

Дифференцируя это уравнение по /, получаем:

29

о^' ^- ₌ г'^а.+г'—

Ж " " Ж " Л '

с1$ ат

Так как --=--!, где ^ - длина дуги линии г, то (II (11

(ж}² _(^}² _в/г»уГ*У ,'2?'.г— *и'Гг'УГ—У

и! Ч^ ~ ^ыи; • ^ * ^ыи; •

откуда

*=и^}\2Г^.*+с(*)², ' (5)

Л У {Л) аг Ж {&)

а также, что (а'5) - (а¹?) - Е(с1и) + 1Раиам + О\сЬ) .

Итак, геометрический смысл первой квадратичной формы поверхности: значение первой квадратичной формы поверхности представляет собой квадрат дифференциала длины дуги гладкой линии, лежащей на поверхности, при бесконечно малом смещении точки вдоль этой линии.

4. Вычисление длины дуги кривой на поверхности. Из равенства (5) получаем формулу для вычисления длины дуги линии, лежащей на поверхности, с концами М, (/,) и М₂ (1₂), где г, < (₂:

.... . _уЛ&)'₊2^.^ ₊ С(^<*. /V Л Л( Л &

')

5. Вычисление угла между кривыми. Пусть г^у₂- две гладкие линии на поверхности Р, проходящие через точку М. Углом между линиями у\,у₂ называется угол между касательными к этим линиям в их общей точке М.

Обозначим через а и #символы дифференцирования вдоль линий у_} и у₂. Значит, с!г и дг - векторы касательных к линиям у_} и у₂ в точке М. Угол <р между линиями у_},у₂ можно вычислить как угол между векторами аг и дг :

аг -5г - ^^\.^г-

СО5^? =---------------.

аг • дг 1^Ш%№К

Найдем аг - г'₁₍аи + г^у , 5г = г'^ои + г',&\?.

Подставив эти значения в предыдущую формулу, получим:

(г'аи + гЛЛ>) • (г'Зи + г'дч)

соз (р = — ^ —___: " ' - =

7(г> + /^у)².^>-ьг>)² _____________ (г_г;)² аиди + Г_и • г^иоу + <Ь>8и) + (г/)² Лубу_________₌

^(г;)² (^)² + 2^>>^+(г;)²,(^7 • л/(^')² И² +²^' • ^^ + (г,;)² (^)²

Едиди + Р(флдч + с&ди) + С^д\>

~^Ыи- + 2Раиач + С^² • ^Еди¹ +2Р<5и&+ С&² ' Итак, угол (р между линиями, лежащими на поверхности, вычисляется по

формуле:

ЕаиЗи ч- Р(с1и&> + сЫди) + О^8у

соз (р = —------—— -----= —, ^ — ------•.

^Еаи¹ + 2Рс1ис1\> + О^² • ^Еби² + 2Р§и8\> + С6\'² 30

Задача. Найдите угол между координатными линиями.

Решение. Пусть координатные линии имеют следующие уравнения:

и - /, [и - соп$1 - и_п,

линия и: < ,/€/., линия v: < , г б /,, и

[v = сот1 = у_о v = т

{с1и = Ж* (<5и = 0, проходят через точку м_о(м_о,у_о) . Имеем <{ , <

[ ^у = 0 [<& = <5г

Тогда косинус угла между координатными линиями будет равен

Г

сов (р = .___.

уГЕО

Из последней формулы следует вывод: чтобы координатная сеть на

поверхности была ортогональной ((р = —), необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой поверхности выполнялось равенство Р=®,

6. Вычисление площади поверхности. Пусть поверхность с краем удовлетворяет следующим трем условиям:

1) Р гомеоморфна замкнутому кругу;

2) Р является частью некоторой гладкой поверхности Ф\

3) край поверхности Р - кусочно-гладкая линия.

В курсе математического анализа устанавливают, что для такой поверхности можно ввести понятие площади, и выводят формулы для ее вычисления. Поверхность, имеющая площадь, называется квадрируемой.

Если поверхность задана явным уравнением %=/(х.у\ где точка (х,у] описывает область О на плоскости Оху, гомеоморфную замкнутому кругу, то площадь такой поверхности вычисляется по формуле

8(Р)^1^Ш7^<ЫУ. (6)

сП ^^дх; №•)

Если поверхность задана параметрическими уравнениями

х=х(«,у), у=^(«,у), г=г(м,у), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле

5(Р)= \\^ЁО ~ Р² с1и^,

о

где С - соответствующая поверхности Р область изменения переменных м, v. Теорема. Если поверхность Р задана векторным уравнением

г =г(м,у), то площадь этой поверхности можно вычислить по формуле

5(^)={|[лл;И«А'.

______.___... _ч (?

Доказательство. Обозначим через (р угол между векторами г_и' и ^', тогда

/ | / ~г Л² _______

/ Ш\^-^-^9 = ^-^-^9-^^0-\\- -_Т=^\ =^ЕС-Р^г.

У \^/Ь^^^

Откуда имеем 5(/^г) = [[v ЕС - Р² Лиа\>= |||[гХ]^^^; •

с; </

31

Ло'йг

По Лекция № 8. Вторая квадратичная форма поверхности.

Кривизна кривой на поверхности. Главные направления и главные кривизны. Индикатриса Дюпена. Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности. Классификация точек на поверхности по знаку полной кривизны. Поверхности постоянной полной кривизны.

Литература

[1]§§6, 8, 9, гл. 2, ч. 4;

[2] §§ 58, 59, 60, гл. VII, раздел 4;

[3] § 78, гл. XV, раздел 4;

[5]§§ 18, 19, гл. III, раздел 5;

[8]§§39-47,гл. VI;

[9]§§ 1,3,4, гл. VII, §6, гл. IX, ч. 2;

[10] §§3,4, 7, 8, гл. XI, § 4, гл. XII, ч. 2.

1. Вторая квадратичная форма поверхности. Пусть Р элементарная гладкая поверхность класса С* (# > 2), заданная уравнением

г - г (и, v) ,

а у- гладкая линия на этой поверхности. При смещении точки Л/по этой линии

мы имеем <^г = г^и + г//у . Отсюда находим

<?? = ?:»(^)² + 2г_ц>^ + г;(^)² + /~;Л + ^^²V, (1)

^ ? -* -л 2 ~* -^»2**

-" - ^д'^г -" - -* - д ^г ~" - ^{д г}

^Г^^{е Г}ш ~ ~ 2 ' »» "~ ^Г>'« ~ "-а -v ' ^Г"' •"" «. 2 '

ш аг^от оу

Длина вектора нормали N = \г^г_у'] равна |[^_и'г/]|= ч ЕС - Р² , поэтому вектор п, определяемый равенством

я=-М1_

п----------- ,

^ЕС-Р²

в каждой точке (xv) является единичным вектором нормали к поверхности Р. , Так как Яг_ц' = пг' = 0, то, умножая равенство (1) скалярно на Я, получаем

п-с1²г=п-^(^)² + 2п • г*^шЪ> + п -^(^)². (2)

Введем обозначения:

у v 7

Г-,-,! (-,-,-.„ \ _л ^Ли У и *Ц

г г (г V г )

7 _ Я . р" - I' Ц'" -I р^- Уи'у'ии/ _ _^______ „

^{^} ~ ^{П Г},ш ~ -^= =Г 'ш, "7= "^ ⁼⁼Т ^^ ^у ^у >

^ЕО-Р² ^!ЕО-Р² ^ЕО-Р²

X V

г/и -^ ыг; ми

Г-,,_Л . /-.^,__/г\ ^и У и ²и

м-пг"~ 1^1- .^-_1^^г^) - ' -_{у у}. _г

да - п г_1П. - -,— —- г -г— г— -— я_у Уу г„ ,

^ЕС-Р² ^ЕО-Р² ^ЕО~Р~

и\> У лу ^ и\' \

\г'г'\ (г'г'г") 1 *' ^У" *"

ДГ _ Й р" _ Уи'у\ _ г» _ Уи'у'уу; _ ____±____ у V »

/V -П-Г^, ~ —=* =г'Г_т ~ ~^= ' г~ —г ^х» Уу ²V •

^ЕС-Р~ ^ЕС-Р² ^ЕО-Р²

xv* 3"'у, ²,ч'

Равенство (2) примет вид:

32

п • а¹ г = Ь((1и)² + 2М4и& + М(^)². (3)

Правая часть этого равенства является квадратичной формой относительно ди, с/у, заданной в точке М. Эту форму называют второй квадратичной формой поверхности.

Найдем другое выражение для второй квадратичной формы. Так как вектор п ортогонален касательной плоскости, то

п • аг = О . (4)

Найдем дифференциал от левой и правой частей тождества (4), получим

А² г • п + аг • с1п = О, откуда вторая квадратичная форма равна

// - д.²Г • П - -б/Г • 6?Л .

2. Кривизна кривой на поверхности. Пусть Р - элементарная гладкая поверхность класса С (& > 2), заданная уравнением

г = г(м,у),

а у- гладкая линия на этой поверхности, заданная уравнениями м=м(,у), V-V(8}, где 5 - естественный параметр, г = г(м($),у(,у)) = ?($)- пространственное

уравнение линии у. Найдем единичный вектор т , касательный к линии уъ точке М:

с1г _. д,и .., (IV г = -- = г„'- - + /•„'-

йЙУ Д& <&

йт

Вектор кривизны N кривой уъ точке Мпо формуле Френе равен N = — = ьу ,

<&

где А; - кривизна, а v - единичный вектор главной нормали линии у в точке М. п - единичный вектор нормали к поверхности Р в точке М.

Нормальной кривизной &_п линии /в точке М называется проекция вектора

кривизны N на единичный вектор нормали п к поверхности Т⁷ в этой точке:

*„ ="Рпй-

Следствия 1. /с_я = п -(ЛР). Доказательство. Действительно

}с_п = пр-М = пр-&у - |А;у со5^? = и -|А:у -соз^з = Я•(&?).

2. Теорема 1. (Меньё^: А:„=А:со5^, где <^» -• угол между

векторами и и N.

Доказательство. А:_л = и -(А:у)= и -|А:Р -соз<р = 1-Л-Ьсо8^ = А:со5^ .

Если / - нормальное сечение поверхности, т. е. сечение поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке М, то, очевидно, либо п = v , либо п - -v . В первом случае &„ - &, а во втором случае /г„ = -&.

Таким образом, имеет место следующее утверждение.

3. Абсолютная величина нормальной кривизны нормального сечения равна кривизне этого сечения.

Теорема 2.

1(аи? + 2М4и<Ь> + /фу)² <р₂ » ,

^ - ~7~^--------------7~^ = ~- V (⁵)

Е(4и)²+2Ыи& + С(<Ъ>)² 9\

-*

'—•—Доказательство. Найдем

иЛР 11

4/№^>? 33

^.

Л I»

И?

&..-,/(& У ^ с?у -,/<ЛЛ² _,б/²г./ _,Л

^ «•?; -Т" + 2г_н, — — + г I — + г„ —_т + г, —_г . V аз) аз аз \ аз) д$ с1$

Умножим это равенство скалярно на Я, получим:

- , - - „,( 4и\ __ _„ Аи (Ь _,/ЛЛ" и • ** » л • г\ — + 2п- г,.., — — + _п • И — ,

\О5} 03 ЙИ Ч<&/

так как и ± Я_а', и _1_ г/ .

._ _ „„(ди\ „_п ди йч *»(Ж>\

Откуда *_я - п • ъу = п • г_ии — + 2п • г_иЧ —— + "• ^'\ —

\а5) аз О5 \<*$)

п • г„; (Ли)² + 2п • г^йисЬ + п • г^ (^у)² ₌ 1(д?ц)² + 2М4ш1у + М(с1у)² _ <р^

^_______________(сЬ)² Е(4и)² + гРди&> + С(<3м)² '" 9\ '

у- Замечания. 1. с1г = г'^и + г//у - касательный вектор к кривой у, лежащей на поверхности , в точке М, <Ии>с&- координаты касательного вектора, которые определяют касательную прямую к у в точке М.

2. Формула (5) показывает, что &_и зависит только от

направления касательной, так как коэффициенты первой и второй квадратичных форм, вычисленные в точке М, являются числами.

Итак, нормальная кривизна А:_п линии у поверхности Р в точке М зависит

только от направления касательной. Следовательно, все гладкие линии поверхности, проходящие через точку М и имеющие в этой точке общую касательную, имеют в точке М одну и ту же нормальную кривизну, которая называется нормальной кривизной поверхности в данной точке и данном направлении.

Отсюда следует, что нормальная кривизна любой линии поверхности, проходящей через точку М (нормальная кривизна поверхности в точке М в данном направлении), с точностью до знака равна кривизне нормального сечения, имеющего с данной линией общую касательную.

«ил,*-'

• 3. Индикатриса Дюпена. На элементарной гладкой поверхности,

заданной уравнением г - г(м,у), рассмотрим точку М, в которой хотя бы один из коэффициентов второй квадратичной формы отличен от нуля, и касательную плоскость в этой точке (М,/;;,г_у'). На произвольной прямой этой плоскости, проходящей через точку М в обе стороны от точки М отложим отрезок МР,

длина которого равна , . Здесь 1с - отличная от нуля нормальная кривизна

VI*-!

линий на поверхности, для которых данная прямая является касательной.

Линия, образованная концами Р отложенных таким образом отрезков, называется индикатрисой кривизны поверхности (или индикатрисой Дюпена) в точке М. В касательной плоскости введем аффинную систему координат Мг^г', и найдем уравнение индикатрисы Дюпена. Точка Р(х,у) принадлежит индикатрисе Дюпена тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:

МР - хг'₍ + уг'. 34

_., I

МР = -7=. т - единичный направляющий вектор прямой МР, а и=и(з\

VI*-!

у=у(л')- какая-нибудь гладкая линия на поверхности, для которой вектор т является единичным касательным вектором в точке М. Тогда МР = ± ,__.- т .

^

1 1 (^,ди _₍с/\Л

Имеем хг + уг, ^: ± —~=г т , или хг + уг ^: ± -—=г г - - + г - . Так как

>„1 ,/РФ ^Л *'

векторы /;' и г,' не коллинеарны, то

1 с1и

— -т- _—

— — *-----~ •,

№ * ,*

1 А ⁽⁶⁾

у —. -|- ,____

^С*'

Запишем формулу (5) в виде

- ^1 = 1(^)² + 1М(Ы» + А^г(^у)² _ 1(^ц)² +2М4и4у + М(с1у)^{2 щ} 9\ Е(<1и)² +2Л/м^у + О(й?у)² (<&)²

^У₊2м^^₊^^1².

V Л у Л с/5 V ^.у у

Итак,

,Г<&Л ^1,3и <зу хтГ^Л

А:„-1 - +2М- - + // • . (7)

V <^5 / йЬ (1$ \&)

Выразим из (6) - - , - - и подставим в равенство (7), будем иметь: й& б&

^_;-|/:_л(^²+2Мху + ^²).

Разделим предыдущее равенство на /с_/( и получим уравнение индикатрисы Дюпена:

1х² +2Мху + Му⁷ =±1 (8)

Так как нас интересуют только вещественные линии, возможны следующие три случая:

а) ^N - М²)0. Уравнениями (8) определяется эллипс. В этом случае точка М называется эллиптической точкой поверхности. Частным случаем •эллиптической точки является омбилическая точка, в которой индикатриса Дюпена есть окружность.

6} ^N ~ М² (§. Уравнениями (8) определяется пара сопряженных гипербол. В этом случае точка М называется гиперболической точкой поверхности.

в) ^У-М²-*}. Уравнениями (8) определяется пара параллельных прямых. В этом случае точка М называется параболической точкой поверхности.

4. Главные направления. Пусть Р - элементарная гладкая поверхность класса С* (& > 2), точка М поверхности не является точкой уплощения, т. е.

коэффициенты второй квадратичной формы одновременно не равны нулю,

35

Главные направления индикатрисы Дюпена в точке М поверхности Р называются главными направлениями поверхности в этой точке.

Если точка Мне является омбилической, то существует единственная пара главных направлений; в омбилической точке любое направление является главным. (Направления называются главными относительно кривой второго

порядка, если они ортогональны и сопряжены; если векторы а(а_}, а₂), Ь(Ь_{, Ь₂) определяют главные направления относительно кривой второго порядка а_их² + 2а_]2ху + а₂₂у² +2а₁₀х + 2а₂₀у + а₀₀ - 0, то а -Ъ - О условие

ортогональности, ^а\\°\Ъ\ +(^а\&2 ⁺ ^\^а2^^а\2 + ^22^а2^2 ~® условие

сопряженности).

Пусть главные направления определяются векторами: с1г - г'^и + г$у , 5г = г'_иди + г^8\>.

Найдем уравнения для определения главных направлений, для этого сначала запишем условия ортогональности и сопряженности:

(Ейиди + Р(4и& + 5и<&) + СсЬ&> = 0,(а7 • 8г = 0), [ Ыиди + М(ди8у + 8иЖ>) + л^/у^у = О,

где I, М, Л" коэффициенты уравнения индикатрисы Дюпена

(Дзе² + 2Мху + ^* - ±1). Полученную систему перепишем в следующем виде:

I (Ес1и + РсЬ)5и + (Р<1и + ОсЬ^З» - О, \(Ши + МЛ\>)8и + (МЛи + Шт)^ = 0. Так как <5г/,<5у одновременно не равны нулю, то

VЕс^и + Рим Рйи + О^ = 0 -Ыи + МЛ> Ши + Ш\>

уравнение для определения главных направлений (с1и:с1у).

Теорема 3. (Родрига). Направление на поверхности, определяемое вектором а7, является главным тогда и только тогда, когда векторы с1п и от коллинеарны, причем

с!п = -Мг , (9)

где с/п дифференциал единичного вектора нормали, соответствующий смещению а!" точки М, а /г - нормальная кривизна по направлению сИР . Формула (9) называется формулой Родрига.

Доказательство. 1. Пусть (%г и 5г определяют главные направления. Докажем, что условие сопряженности может быть записано в виде йп • 5г - 0. Действительно,

с!п = п'_ис1и + п\4^,5г - г'_иди +г/<5у;

<3п • Зг = п^г^диди + п(₁г'^ид\' + г'_ип[5исЫ + п\г^д^ -

п'ЛАиди + п(₁г'_!(с1и& + <5ш/и) + п'Л&*д*--1Аиди - М(дидч + ди^} - N^VбV = - (Ыи8и + М(дид\> + §и^+ М&8\?} =0. (При доказательстве были использованы формулы: Ь - -п'_иг'_и,М - -п'_иг', = -^^п'_V._>N = -п[г^ которые легко могут быть доказаны, например, дифференцируя тождество п • г'_и - 0 по и, получаем

"'Л*"?™ ^О^ откуда, пг_и"_а --Я;/;' 1л1=пг^_и =-%%}.

Для того, чтобы (Лг и 5г определяли главные направления, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия ортогональности и сопряженности, т.е.

36

\(1г • <5г = О,

\г * п (¹⁰)

[ял -<5г = 0.

Так как дп - п'_ис1и + п[(1\>, п[ 1 л,Я'. _1_ Я, то вектор </Я параллелен касательной плоскости, а тогда из равенств (10) следует, что <3п \\<3г (<1г _1<5г ), т. е. с1п = Ас1г . Найдем Л, для чего последнее равенство умножим скалярно на с1г , получим

М • Лг = Мг², откуда -<р_г- Я^ и А =------ = -А_п, где А;_/( - нормальная

<Р\

кривизна в направлении с?г , которое является главным, а значит с1п ~ -Ь„с1г . II. Обратно, возьмем <я7 такое, что

с1п - Мг .

Пусть {5г±б/г, т. е Лг-дг^О, тогда из 5г ±сИг и Лп = Мг следует, что дг1^/Я, т. е. <://7-бГ₌0, _{а это и} означает, что ^ (как и ^ )определяет главное направление.

*5. Главные кривизны. Нормальные кривизны по главным направлениям в точке А/ поверхности называются главными кривизнами поверхности в этой точке. Обозначение: А;, ,&₂. Рассмотрим формулу Родрига:

б/Я = -&6/Г,

где А; -это нормальная кривизна по главному направлению с/г (т. е. главная кривизна).

Запишем формулу Родрига подробнее:

п'_ис1и + Я',^у = -Ат;,'^/ - /с/⁷//у , умножим скалярно обе части равенства на г_и',г„', тогда

(п^г^и + п(т'.,(^ - —^г'г'^и — Кг',г'₍ с&,

[ п'_иг$и + я'/^у = -^г^и - аг/_у'(^у,

11^ ч- шу = -Л^^м - АЛ/у,

\М4и + №у = -^^/ - &?д?у,

Г (I - ^)Л/ + (М - Л/^)^у - О,

\(М - ЛЛ^м + (/V - М3)4\> = О,

так как Ли² + ^' >0 , то

ь-ъе ы-кр

-о.

М-№ N-1^0 Главные кривизны А, Д, являются корнями этого уравнения или следующего:

\^ (ЕС-Р²}Ъ²-^-2РМ + СШ + ^-М²) = 0. (11)

6. Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности. Классификация точек на поверхности по знаку полной кривизны.

А + А: Полусумма главных кривизн Н = ~ называется средней кривизной

поверхности в точке М Произведение главных кривизн К = ^^^ называется полной (или гауссовой) кривизной поверхности в точке М. Из уравнения (11) по теореме Виета имеем:

37

ЕN~2РМ

2(ЕС-Г²)

ЕО-Г

Так как ЕО-Г²)0, то из последней формулы следует, что в

эллиптических точках поверхности Л>0, в гиперболических точках АхО, в параболических точках К=0.

7. Поверхности постоянной полной кривизны. Поверхность Г называется поверхностью постоянной полной (соответственно средней) кривизны, если во всех точках этой поверхности К- сопз! (Н= сопзт).

Поверхность, в каждой точке которой средняя кривизна равна нулю, называется минимальной. Название объясняется тем, что среди всех поверхностей, ограниченных некоторым контуром, поверхность со средней кривизной, тождественно равной нулю, имеет минимальную площадь.

Примеры. 1. Плоскость поверхность постоянной нулевой полной кривизны. (К=0).

2. Сфера - поверхность постоянной полной положительной кривизны.

Действительно, каждая точка сферы является омбилической,

следовательно,

/С, --- /С-1 ---

К

(кривизна нормального сечения, которое

представляет из себя большую окружность), откуда имеем К = ---- = — ^)0 .

К К К^

3. Псевдосфера поверхность постоянной полной отрицательной кривизны. Псевдосферой называется поверхность, полученная вращением трактрисы вокруг своей оси Ог. Трактриса имеет следующие параметрические уравнения:

х - а зт (9,

, тогда псевдосфера будет иметь следующие уравнения:

г\

2 - а(соз в + 1п 1% — ).

По формуле К = - —2~ находим К = -ЕС - Р