7 Вопрос

1. Пусть М- любое множество точек (фигура) пространства. Отображение f:M→f(M)

где f(M) E₃, E₃ - трехмерное евклидово пространство, называется взаимно-однозначным ( биективным), если образы различных точек различны.

Отображение f (преобразование) фигуры М называется непрерывным, если оно близкие точки множества M переводит в близкие точки фигуры f(M), Это значит, что если точка X фигуры М переходит в точку X′ фигуры f(M), то каково бы ни было ε>0 существует δ>0 такое, что любая точка Y фигуры F, которая отстоит от X на расстоянии, меньшем δ, переходит в точку фигуры f(M), которая отстоит от X′ на расстоянии, меньшем ε .

Пусть f одно-однозначное и непрерывное отображение М. Если отображение f^-1 множества f(М) также непрерывно, то f называется топологическим отображением. Относительно множества M и его образа f(М) при топологическом отображении f говорят, что они гомеоморфны или топологически эквивалентны.

Множество G точек пространства называется открытым, если для каждой точки X этого множества можно указать число ε>0 такое, что все точки пространства, расстояния которых от X меньше ε, тоже принадлежат G. Очевидно, множество, составленное из любой совокупности открытых множеств, будет открытым.

Окрестностью точки X пространства называется любое открытое множество, содержащее эту точку.

Отображение f фигуры М называется локально топологическим, если оно является топологическим в достаточно малой окрестности каждой ее точки, т.е. у каждой точки X фигуры М существует окрестность U такая, что отображение f₁:U∩M→f(U∩M) является топологическим, где f₁(X)=f(X)

2. Множество γ точек пространства называется элементарной кривой, если это множество является образом открытого отрезка прямой при топологическом отображении его в пространство (рис. 1).

Примеры элементарных кривых: прямая, синусоида, парабола.

3. Простой кривой называется фигура, каждая точка X которой имеет пространственную окрестность такую, что часть фигуры, содержащаяся в этой окрестности, является элементарной кривой (рис. 2).

Примеры: 1) все элементарные кривые являются простыми;

2) эллипс является простой кривой, но не является элементарной;

3) окружность, тангенсоида, гипербола.

4. Множество точек пространства называется общей кривой, если это множество является образом простой кривой при локально топологическом отображении (рис. 3).

Примеры: 1) все простые кривые являются общими;

2) строфоида, четырехлепестковая роза - общие кривые, но не простые.

5. Способы задания линии.

1. Параметрическое. Пусть γ - элементарная кривая. Если в пространстве

задать прямоугольную декартову систему координат Oijk , то элементарная кривая γ определяется системой уравнений

x=f₁(t)

y=f₂(t)

z=f₃(t)

или

x=x(t)

y=y(t)

z=z(t)

где t изменяется в некотором промежутке I, а правые части в формулах (1) -непрерывные в промежутке I функции, которые и осуществляют гомеоморфное

отображение t→(x(t), y(t), z(t)) промежутка I на линию γ. Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями данной линии.

2. Векторное задание. Умножив уравнения (1) соответственно на i, j, k и

сложив, получаем r = r(t)i+y(t)j+z(t)k (векторный способ задания линии равносилен параметрическому).

3. Явное:

y=f(x),

z=g(x).

4. Неявное:

F(x, y, z)=0

G(x, y, z)=0