4.Распределение числа частиц по высоте. Распределение Больцмана. Распределение Максвелл-Больцмана

Выведем закон изменения давления с высотой. Разность давлений р и p+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 м²: где  — плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной). Следовательно, (1), pV=(m/M)RT

Подставив это выражение в (1), получим С изменением высоты от h₁ до h₂ давление изменяется от р₁ до р₂ т. е. или (2) Выражение (2) называется барометрической формулой. (3) где р — давление на высоте h, p=nkT: где n-концентрация молекул на высоте h, n_0-то же, на высоте h=0. - распределение Больцмана для внешнего потенциаль­ного поля. Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана справедливо в любом вне­шнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

При рассмотрении распределения Максвелла — Больцмана, бросается в глаза важное свойство — его можно представить как произведение двух множетелей: .

Первый множитель есть ничто иное как распределение Максвелла, оно характеризует распределение вероятностей по импульсам. Второй множитель он характеризует вероятность обнаружения частицы в объеме dV. Согласно теории вероятности, распределение Максвелла — Больцмана можно рассматривать как произведение вероятностей двух независимых событий — вероятность данного значения импульса и данного положения молекулы.

Первая из них: представляет распределение Максвелла; -распределение Больцмана.

5. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Вальса. Критическое состояние. Эффект Джоуля-Томсона

Для реальных газов давление должно резко возрастать при конечном объеме, равном по порядку величины объему всех частиц газа. Обозначим этот конечный объем для одного моля через – b, тогда давление газа может быть записано в виде , n = , а, учитывая, что давление само пропорционально концентрации, то n²= . Учитывая это можно прийти к соотношению P = ,которое в форме называется уравнением Ван-дер-Ваальса (для одного моля газа).

Для произвольного количества вещества v газа (v=m/M) с учетом того, что V=vV_m, уравнение Ван-дер-Ваальса примет вид

Поправки a и b - постоянные Ван-дер-Ваальса-

Возможны 3 случая решения уравнения Ван-дер-Ваальса:

1) все три корня действительные и равны между собой этот случай соответствует критическому состоянию (изотерма Tкр);

2) все три корня действительные и разл-е( );

3) два корня мнимые, не имеющие физического смысла, один корень действительный( ).

6.Изотермы Эндрюса и Ван-Дер-Ваальса. Метастабильные сотояния. Физический смысл критического сотояния

Д ля исследования поведения реального газа рас-м изотермы Ван-дер-Ваальса — кривые зависимости р от V_m при заданных Т, определяемые уравнением Ван-дер-Ваальса для моля газа. При некоторой температуре T_к на изотерме имеется лишь одна точка перегиба К.Эта изотерма называется критической(T_к ); точка перегиба К называется критической точкой. Соответствующие этой точке объем V_к, и давление р_к называются также критическими. Состояние с критическими парамет­рами (p_к, V_к, T_к) называется критическим состоянием. При низких темп-рах (Т < T_к ) изотермы имеют волнообразный участок. Для пояснения характера изотерм преобразуем уравнение Ван-дер-Ваальса к виду

Уравнение при заданных р и Т является уравнением третьей степени от­носительно V_m. Первому случаю соответствуют изотермы при низких темп-рах, второму случаю -изотермы при высоких темп-рах. Данные выводы, были под­тверждены опытами Т. Эндрюса.

Отличие экспериментальных (Эндрюс) и те­оретических (Ван-дер-Ваальс) изотерм заключается в том, что превращению газа в жидкость в первом случае соответствуют горизонтальные участки, а во вто­ром — волнообразные.

Для нахождения критических параметров подставим их значения в уравнение и запишем . Поскольку в критической точке все три корня совпадают и равны V_к уравнение приводится к виду Tax как эти уравнения тождественны, то в них должны быть равны и коэф-ты при неизвестных соответствующих степеней.

Поэтому можно записать

Решая полученные уравнения, найдем Сравнивая изотерму Ван-дер-Ваальса с изотермой Эндрюса (верхняя кривая на рис2), видим, что последняя имеет прямолинейный участок 2—6, соответствующий двухфазным состояниям вещества. Правда, при некоторых условиях могут быть ре­ализованы состояния, изображаемые участками ван-дер-ваальсовой изотермы 5—6 и 2—3. Эти неустойчивые состояния называются метастабильными