12. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование.

Общее уравнение прямой.

Ах+Ву+С=0

А,В,С- произвольные числа, А и В не равны нулю одновременно. Два случая:

1. В=0, то уравнение имеет вид Ах+С=0, причем А не равно 0, т.е х= -С\А, это есть уравнение прямой , параллельной оси Оу, проходящей через точку (-С\А;0)

2. В не равно нулю, получаем у= -А\Вх-С\В. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом к=tga=-А\В

Частные случаи общего уравнения прямой:

1. А=0, уравнение приводится к виду у=-С\В. Это есть уравнение прямой , параллельной оси Ох;

2. В=0, то прямая параллельна оси Оу;

3. С=0, то получаемАх+Ву=0. Уравнению удовлетворяют координаты точки О (0;0), прямая проходит через начало координат

13. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициентов. Пучок прямых

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнения.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

У = кх+в, число к= tga-угловой коэффициент прямой, а уравнение- уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если прямая проходит через начало координат , то b=0, и уравнение этой прямой будет иметь вид у= кх.

Если прямая параллельна оси Ох, то а=0,следовательно к=tga=0 и уравнение примет вид у= b.

Если уравнение прямой параллельно оси Оу, то а=∏\2, следовательно уравнение теряет смысл, т.кtg ∏\2- не существует, уравнение прямой будет иметь вид х=а, где а-абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

Пучок прямых.Через точку А1(х1;у1) проходит множество прямых, именуемое центральным пучком(или просто пучком). Точка а1- центр пучка. Каждую из прямых пучка можно представить уравнением:

у-у1= к(х-х1)

к- угловой коэффициент, параметр пучка, характеризует направление прямой, она меняется от одной прямой пучка к другой. Значение параметра К можно найти, если дано еще какое-либо условие, которое определит положение прямой

14. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости и в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

Кроме того, для точки М1 можно записать:

Решая совместно эти уравнения, получим:

Уравнение прямой проходящей через две заданные точки на плоскости:

15.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

Пусть две перпендикулярные прямые L1,L2 представляются уравнениями:

y=к1x+b1,

y=к2x+b2

Тогда формула: дает угол, на который надо повернуть первую прямую, чтобы она стала параллельной второй.

Условием параллельности двух прямых является равенство двух угловых коэффициентов: к1=к2

Условием перпендикулярности прямых является равенство

     

16. Общее уравнение плоскости и его исследование

Т: Всякое невырожденное уравнение I степени относительно текущих координат

определяет плоскость в пространстве и называется общим уравнением плоскости

Возьмем т. координаты которой удовлетворяют данному уравнению. Тогда

Вычитая из первого уравнения второе, получаем:

На плоскости XOY (z = 0) уравнение дает общее уравнение прямой:

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz