8.Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты, длина вектора, расстояние между двумя точками. Вычисление косинуса угла между двумя точками.

Выражение векторного произведения через координаты. Находим по формуле :

Длина вектора

Расстояние между двумя точками

Вычисление косинуса угла между двумя точками

9. Направляющие косинусы вектора и их свойства.

Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: соsa,cosbB,cos∂.

, , , из этого следует :

, ,

Свойства:

1) сos2 + cos2 + cos2 = 1,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна единице;

т.е. направляющие косинусы этого вектора пропорциональны его соответствующим проекциям.

Примечание. Из формул видно, что проекции любого единичного вектора на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно,

10.Векторное произведение: определение ,вычисление и свойства.

Три некомпланарных вектора a,bи с, в указанном порядке образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму совершается против часовой стрелки, и левую если по часовой.

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. перпендикулярен векторам а и b

2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма , построенного на векторах а и b, как на сторонах. С= |а|*|b|*sina

3. векторы a,b,cобразуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а *b

Из определения векторного произведения вытекает следующее соотношение между ортами I,j,k: i*j=k, j*k=I, k*i=j.

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак.

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя ,т.е лямбда(a*b)= (лямбда*a)*b=a*(лямбда*b)

3. Два ненулевых вектора а иb коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

4. Распределительное свойство : (a*b)*c= a*c+b*c

,

11. Смешанное произведение: определение, вычисление, геометрический смысл.

Определение смешанного произведения и его геометрический смысл. Первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным. Смешанное произведение представляет собой число. Смешанное произведение трех векторов, равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах , взятого со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус если образуют левую тройку.

Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • прdс, |d|=|а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, прdс = Н Для правой тройки векторов и прdс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипеда. Получаем: (axb )*c =S *(±H ), т. е. (axb )*c =±V , где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, b и с.

Свойства:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вектарного и скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей

4. Смешанное произведение ненулевых векторов a,bи с равно нулю тогда и только тогда , когда они компланарны.

Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.