50.Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел.Модуль и аргумент комплексного числа. Формула Эйлера.

Формула Эйлера.

где e — основание натурального логарифма,

i — мнимая единица.

Если точка z комплексной плоскости имеет декартовые координаты :

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера

- показательная запись .Так же, как и в тригонометрической форме, здесь , .

51. Действия с комплексными числами. Формула Муавра

Суммой двух комплексных чисел z1=х1+iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).

Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

z1+z2=z2+z1

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число zl т. е. z=z1-z2, если z+z2=z1.

Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z:

z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2).

Произведением к омплексных чисел z1 =х1 +iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством

z=z1 z2 =(x1 x2- у1 у2)+i(x1 y2+y1x 2 ).

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:

z1z2=z2z1

(z1z2)z3=z1(z2z3).

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z2, дает число z1, т. е. z1/z2=z, если z2z=z1.

Если положить z1=x1+iy1; z2=х2+iy2≠0, z=х+iy, то из равенства (х2+iy2)(x+iy)=x1+iy1 следует

Решая систему, найдем значения х и у:

Таким образом

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает что, . Она следует из формулы Эйлера