41) Скалярное произведение n-мерных векторов. Неравенство Коши-Буняковского
1)n-Мерным вектором
называется
упорядоченный набор из n действительных
чисел, записываемых в виде строки
или
столбца
.
Число
называют
i-й координатой вектора
.
Количество координат у вектора
называют
его размерностью. Например, (1; 3; –1; –2;
7) – пятимерный вектор.
Скалярным
произведением двух n-мерных векторов
и
называется
число, обозначаемое
и
равное сумме произведений соответствующих
координат векторов
и
:
.
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1.
причем
тогда
и только тогда, когда
.
2.
.
3.
4.
.
2) Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.
Формулировка
Пусть
дано линейное пространство
со
скалярным произведением
.
Пусть
—
норма, порождённая скалярным произведением,
то есть
.
Тогда для любых
имеем:
причём
равенство достигается тогда и только
тогда, когда векторы
и
пропорциональны
(коллинеарны).
Доказательство
Если
то
верно
следующее
Значит
дискриминант
многочлена
неположительный,
то есть
Следовательно,
Если
то
представим скалярное произведение в
тригонометрическом виде
Определим
вектор
Тогда
и
К
скалярному произведению
применим
результат первого пункта доказательства.
3) Углом j между ненулевыми n-мерными векторами и называют угол (от 0 до p), косинус которого равен
42)Определение линейно зависимых и независимых векторов. Критерий линейной зависимости и не зависимости веторов в
1) Определение. Система векторов x1, x2, … , xn О X называется линейно зависимой, если существуют числа α1, α2, … , αn О R , не все равные нулю (т.е. α12 + α22 + … + αn2 ≠ 0 ), такие, что
α1x1 + α2x2 + … + αnxn = θ.
Если это равенство выполняется только при α1 = α2 = … = αn = 0 , то система векторов называется линейно независимой.
Вместо "линейно зависимая (или независимая) система векторов" можно говорить просто "линейно зависимые (или независимые) векторы".
Теорема Чтобы векторы x1, x2, … , xn О X были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией остальных.
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.39).
Следствие. Два вектора x1 и x2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда x1 = αx2 или x2 = βx1 при некоторых α, β О R , т.е. когда векторы x1 и x2 коллинеарны.
2) Критерий линейной зависимости векторов
Для
того чтобы векторы
(r
> 1) были
линейно зависимы, необходимо и достаточно,
чтобы хотя бы один из этих векторов
являлся линейной комбинацией остальных.
3)
В
векторы
,
и
линейно
независимы, так как уравнение
имеет
только одно, тривиальное, решение.
Векторы
и
являются
линейно зависимыми, так как
а значит
43) Базис линейного пространства. Примеры базисов в
1)Система векторов линейного пространства L образует базис в L если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из L линейно выражается через векторы системы.
Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов e1, ..., en образует базис в L если любой вектор x из L может быть представлен в виде
x = С1·e1+С2·e2+ ...+Сn· en.
Конечная
сумма вида
называется
линейной комбинацией элементов
с коэффициентами
.
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Элементы
называются линейно зависимыми, если
существует их нетривиальная линейная
комбинация, равная нулевому элементу
θ.
В противном случае эти элементы называются
линейно независимыми.
Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой
вектор
можно представить (единственным образом)
в виде конечной линейной комбинации
базисных элементов: