- •1.Декартова и полярная системы координат на плоскости. Формулы,связующие координаты точки в этих системах. Декартова система координат в пространстве.
- •2.Понятие геометрического вектора. Основные определения связанные с этим понятием (длина вектора, равенство векторов, нуль-вектор, коллинеарные и компланарные векторы, орт вектора).
- •3.Линейниые операции с геометрическими векторами. Законы, которым удовлетворяют эти операции. Разность векторов. Коллинеарные векторы.
- •4.Деление отрезка в заданном отношении.
- •5. Понятие радиус-вектора. Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на плоскости и в пространстве.
- •6.Действия с геометрическими векторами в координатной форме. Признак коллинеарности векторов.
- •7.Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства. Признак ортогональности векторов.
- •8.Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты, длина вектора, расстояние между двумя точками. Вычисление косинуса угла между двумя точками.
- •9. Направляющие косинусы вектора и их свойства.
- •10.Векторное произведение: определение ,вычисление и свойства.
- •11. Смешанное произведение: определение, вычисление, геометрический смысл.
- •12. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование.
- •13. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициентов. Пучок прямых
- •14. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости и в пространстве.
- •15.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
- •16. Общее уравнение плоскости и его исследование
- •17.Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •18.Различные виды уравнений прямой в пространстве ( каноническое, параметрическое, общее уравнение прямой).
- •23.Определение эллипса и его каноническое уравнение.
- •24. Определение гиперболы и ее каноническое уравнение.
- •25.Определение параболы и ее каноническое уравнение.
- •27.Действия с матрицами (сложение, умножение на скаляр, перемножение матриц, транспонирование матриц). Законы, которым эти действия удовлетворяют.
- •28. Определение определителя и его свойства.
- •29.Определитель, минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.
- •30.Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Способы вычисления обратной матрицы.
- •31)Определение ранга матрицы. Базисный минор. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •32.Система линейных уравнений и ее решение. Различные формы записи системных уравнений. Определение однородной, неоднородной, совместной, несовместной, определенной и неопределенной системы.
- •Векторная форма записи
- •Матричная форма записи
- •33.Матричный способ решения систем линейных уравнений.
- •34.Формулы Крамера.
- •35. Формула Кронекера Капелли.
- •36.Условия определенности и неопределенности систем линейных уравнений.
- •37.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •38)Теорема о совместимости однородной системы линейных уравнений
- •39)Теорема о существовании ненулевых решений однородных линейных уравнений.
- •40)Линейное векторное пространство. Пространство r и линейные операции в этом пространстве.
- •41) Скалярное произведение n-мерных векторов. Неравенство Коши-Буняковского
- •42)Определение линейно зависимых и независимых векторов. Критерий линейной зависимости и не зависимости веторов в
- •2) Критерий линейной зависимости векторов
- •43) Базис линейного пространства. Примеры базисов в
- •44. Теорема о единственности разложении вектора линейного пространства по базису.
- •45.Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Сумма и пересечение подпространств. Примеры подпространств.
- •46.Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы и их свойства.
- •47.Характерестическое уравнение , соответствующие квадратной матрице . Теорема о связи собственных чисел матрицы с корнями этого уравнения.
- •48. Линейные операторы. Основные понятия.
- •49. Комплексные числа в алгебраической форме записи .Геометрическое изображение комплексных чисел. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи .Решение алгебраических уравнений
- •50.Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел.Модуль и аргумент комплексного числа. Формула Эйлера.
- •51. Действия с комплексными числами. Формула Муавра
1.Декартова и полярная системы координат на плоскости. Формулы,связующие координаты точки в этих системах. Декартова система координат в пространстве.
Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости.
Прямоугольная система координат-декартова система координат. Она задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми-осями, на каждой из которой выбрано положительное направление и задан единичный отрезок.
Оси координат: О-начало координат, ось абсцисс(ось ОХ), ось ординат(ось ОУ).Оси координат делят плоскость на 4 области-четверти.
Единичные векторы называют Iи j. Систему координат обозначают Оху, а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.
Каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.
Полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, которая называется полюсом, лучом Ор, который называется полярной осью и единичным вектором е, того же направления что и полярная ось. Если мы возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Ее положение определяется двумя числами: ее расстоянием до r от полюса О и углом фи, который образован отрезком ОМ с полярной осью(Ор)(отсчет углов ведется по направлению противоположенному движению часовой стрелки.).
Числа rи фи- называются полярными координатами точки М. r- полярный радиус, фи- полярный угол.Чтобы получить все точки плоскости, достаточно ограничить полярный угол промежутком
(-∏;∏](или 0 ≤фи<2∏), а r [0;∞). В этом случае, каждой точке плоскости, кроме точки О, соответствует единственная пара чисел r и фи, и наоборот.
Формулы,связующие координаты точки в этих системах. Для того чтобы установить связь между декартовой и полярной системой координат нам нужно совместить полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось с положительной полуосью Ох. Теперь х и у- прямоугольные координат точки М, а rи фи- полярные координаты этой же точки. Таким образом прямоугольные координаты выражаются через полярные следующим образом: х= r*cosa, y= r*sina. А полярные координаты точки М, выражаются через ее декартовы след.образом : r= √x²+y², tga= y\x. Определяя величина a, следует установить по знакам х и у четверть, в котором и лежит угол, и учитывать что -∏<a≤∏.
Декартова система координат в пространстве.Три взаимно перпендикулярные оси ОХ, ОY, ОZ, проходящие через точку О, образуют прямоугольную систему координат. Точка О- начало координат, прямые ОХ, ОY, ОZ- оси координат(ох- ось абсцисс, оу- ось ординат, оz- ось апликат), плоскости ХОУ,УОZ, ZOX- координатные плоскости. Если мы отложим на осях в положительном направлении отрезки ОА, ОВ,ОС, которые будут равны единице масштаба, мы получим три вектора. Они называются основными векторами, обозначаются как i , j, k.Положительное направление на осях принято выбирать так, чтобы поворот на 90°, совмещающий положительный луч ОХ с лучом ОУ, казался происходящим против часовой стрелки. Если наблюдать его со стороны луча OZ. Такая система координат называется правой. Иногда пользуются и левой системой координат, в ней поворот совершается по часовой стрелки а не против.