6.5. Інтервальні оцінки результатів вимірювань

  Поряд з точковими оцінками випадкової величини можна обчислювати інтервальні оцінки, які дозволяють отримати інтервали відхилень оціночних значень випадкової величини від її істинного значення. У ряді практичних задач потрібно для різних ймовірностей визначити інтервали відхилення оціночних значень випадкової величини від її істинного значення. Тобто для заданої ймовірності β вимагається визначити максимальну похибку , яка є в експериментальних, в тому випадку, якщо за істинне значення випадкової величини прийнята її оцінка, отримана з досвіду - середнє значення : 

- < < +

Рис. 6.7. Результати обчислень критерію

Отриманий інтервал називається довірчим, межі його ( ± ) - довірчими, а ймовірність β - довірчої. Чим більше величина довірчої ймовірності β, тим ширше довірчий інтервал (більше величина 8 і навпаки, чим більше ширина довірчі інтервалу, тим з більшою ймовірністю істинне значення знаходиться в цьому інтервалі. Іноді замість довірчої ймовірності задаються рівнем значущості р - 1 - β, який часто виражають у відсотках Рівень значущості показує ймовірність того, що істинне значення вимірюваної величини буде лежати за межами довірчого інтервалу На практиці величину довірчої вероятності беруть рівною 0,9;0,95;0,99.

Розрахунок довірчого інтервалу залежить від обсягу вибірки - n. Якщо обсяг вибірки більше 30 (n > 30), то передбачається, що випадкова величина підпорядковується нормальному закону розподілу і довіритель ¬ ний інтервал можна розрахувати з використанням стандарту середнього:    

=

За правилом трьох стандартів довірчий інтервал визначається по наступних співвідношеннях 

- 3 + 3 для β =0,997;

- 2 + 2 для β =0,95;

- + для β =0,68

У випадках малого обсягу вибірки (n <30) передбачається, що випадкова величина підкоряється закону розподілу Стьюдента, і довірчий інтервал розраховується за формулою

 

- +

де - табличне значення коефіцієнта (квантиля) Стьюдента, котрий залежить від рівня значущості (р = 1 - β) і числа ступенів свободи (f = n - 1).  В Excel для обчислення границь довірчого інтервалу та при числі елементів у вибірці n<30 використовується функція довіри або процедура Описова статистика.  Функція Довіри (альфа; станд_відк; розмір) визначає напівширину довірчого інтервалу і містить наступні параметри:

  • альфа - рівень значущості (р). Довірча ймовірність дорівнює 100 • (1 - альфа) відсоткам, або альфа, рівне 0,05, означає 95%-й рівень довірчої ймовірності;  • станд_відк - стандартне відхилення генеральної сукупності для інтервалу даних, передбачається відомим; 

• розмір - розмір вибірки (і). 

Приклад 6.4 

Найти з довірчою ймовірністю β = 95% межі довірчого інтервалу для часу розряду акумулятора, якщо експериментально установле ¬ но, що у 25 телефонних акумуляторів середній час розряду в режимі сподівання склало 140 годин, а стандартне відхилення - 2,5 години .

Нижче наводиться послідовність дій для вирішення.  1. Відкрийте нову робочу таблицю. Встановіть табличний курсор у ячейку А1.  2. Для визначення меж довірчого інтервалу необхідно на панелі інструментів Стандартна натиснути кнопку Вставка функції ( ). У з'явившимся діалоговому вікні Майстер функцій виберіть категорію Статистичні та функцію Довірит, після чого натисніть кнопку ОК.  3. У робочі поля діалогового вікна Довірит з клавіатури введіть умови задачі: Альфа - 0,05; Станд_відкл - 2,5; Розмір - 25, на ¬ тисніть кнопку ОК. В комірці А1 з'явиться напівширина 95%-го довірчого інтервалу для часу розряду акумулятора - 0,979981. Іншими словами, з 95%-вим рівнем надійності можна стверджувати, що середня тривалість розряду акумулятора становить 140 ± 0,979981 години або від 139,02 до 140,98 години. 

Приклад 6.5

Нехай є вибірка, яка містить числові значення: 13, 15, 17, 19, 22, 25, 19. Необхідно визначити межі 95%-вого довірчого інтервалу для середнього значення і для "вискакує" варіанти, тобто такого значення з вибірки, яке не належить довірчого інтервалу.

  Рішення.  1. У діапазон А1:А7 введіть вихідний ряд чисел.  2. Далі викличте процедуру Описова статистика. Для цього, вказавши курсором миші на пункт меню Сервіс, виберіть команду Аналіз даних. Потім в списку, що з'явився Інструменти аналізу виберіть рядок Описова статистика.  3. У діалоговому вікні, в робочому полі Вхідний інтервал вкажіть вхідний діапазон - А1: А7. Перемикачем активізуйте Вихідниї інтервал і вкажіть вихідний діапазон - комірку В1. У розділі Группіровка перемикач встановіть в положення по стовпцях. Встановіть прапорець в ліве поле Рівень надійності і в правому полі (%) - 95. Натисніть кнопку ОК. 

4. У результаті аналізу в зазначеному вихідному діапазоні для довірчої ймовірності 0,95 отримуємо значення довірчого інтервалу (рис. 6.8).

  Рівень надійності - це половина довірчого інтервалу для генирального середнього арифметичного. З отриманого результату випливає, що з імовірністю 0,95 середнє арифметичне для генеральної сукупності знаходиться в інтервалі 18571 ± 3,77. Тут 18571-вибіркове середнє для 

Рис.6.8 Результати розрахунків. До прикладу 6.5

розглянутого прикладу, яке знаходиться зазвичай процедурою Описова статистика одночасно з довірчим інтервалом.  5. Для знаходження довірчих меж для "вискакує" варіанти необхідно отриманий вище довірчий інтервал помножити на (у нашому прикладі = , тобто 3,77* = 9,975).

Таким чином, варіанти, що потрапляє в інтервал 18571 ± 9975, вважається що належить даної сукупності з імовірністю 0,95.Виходить за ці межі може бути відкинута з рівнем значущості α = 0,05.