37. Характеристика выпуклости функции с помощью производной 2ого порядка. Определение интервалов выпуклости и точек перегиба графика функции

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

Если f (x)  0 , то функция f (x) в точке х0 имеет максимум,

если ( 0 ) 0 f  x  и минимум, если ( 0 ) 0 f  x  .

Если ( 0 ) 0 f  x  , то характер критической точки неизвестен. Для его

определения требуется дальнейшее исследование.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x₀) = 0 или f ''(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x₀ и f ''(x) > 0 при x > x₀. Тогда при x < x₀ кривая выпукла, а при x > x₀ – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x₀ есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x₀ и f ''(x) < 0 при x > x₀.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых.

1. 

Найдем производные заданной функции до второго порядка.

.

. Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.

Итак, точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞; 1).

2. 

Возможные точки перегиба найдем, решив уравнение 2x² – 1 = 0. Отсюда .

Точки перегиба . Функция выпукла на и вогнута на .

3. y = ln (1 – x²). Область определения функции D(y) = (-1; 1).

.

при всех x из (–1; 1).

Следовательно, f(x) выпуклая на (–1; 1).

38. Экстремумы функций и их нахождение с помощью производных. Необходимый признак и достаточные признаки существования экстремума.

Экстремум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкойэкстремума.

Нахождение точек экстремума с помощью производных.

1. Берём производную данной функции

2. Приравниваем её к нулю

3. Находим значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль

4. Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом ещё не забываем о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую). Эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум

5. Вычисляем на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной.

6. Находим экстремумы(Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой, если при прохождении через какую-то точку знакпроизводной меняется изплюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если из минуса на плюс, то – минимумом.)

Есть и другой вариант. Берут ещё и вторую производную. Тогда точка, в какой первая производная равна нулю, а вторая больше ноля, будет минимумом, а если в точке первая производная равна нолю, а вторая меньше ноля, то эта точка будет максимумом.

Теорема 1 (необходимые условия существования экстремума)

Если функция z = f(x, y) в точке  имеет экстремум, то в этой точке обе частные производные равны нулю (f_x(P₀) = 0, f_y(P₀) = 0) или, по крайней мере, одна из них не существует.

 

Теорема 1 имеет простой геометрический смысл. Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) в точке экстремума P₀ параллельна плоскости Оху  (z_x(P₀) = 0, z_y(P₀) = 0) или не существует.

Необходимые условия существования экстремума остаются справедливыми и для функций большего числа переменных.

Точки, в которых все частные производные первого порядка функции      z = f(P) равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются критическими точками. Если в критической точке функция дифференцируема, то все частные производные первого порядка в ней обращаются в нуль. Такую точку часто называют стационарной. Для отыскания стационарных точек функции z = f(x, y) находят частные производные первого порядка и решают систему уравнений 

 

                                                                                                      (3)

 

Пример 1. Найти стационарные точки функции z = x³ + y³ - 3 x y.

Решение. Находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений (3):

 

         или      

 

Решив эту систему, получим две стационарные точки Р₁(0,0) и Р₂(1,1).

Согласно теореме 1 любая точка экстремума является критической точкой функции, но не всякая критическая точка является точкой экстремума,   т. е. необходимые условия (теорема 1) не являются достаточными условиями существования экстремума.

Действительно, для функции z = xy точка (0,0) является критической, так  как  в ней частные производные z_x = y,  z_y = x обращаются в нуль. Однако в этой точке функция не имеет экстремума, поскольку в точке (0,0) функция равна нулю, а в любой окрестности данной точки она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, не существует окрестности точки (0,0), где приращение функции сохраняет знак.

Ответ на вопрос, является ли стационарная точка точкой экстремума, дают достаточные условия существования экстремума, которые будут сформулированы ниже в виде теоремы.

 

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция z = f(x,y) в стационарной точке Р₀ (х₀,у₀) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Если А = f_xx (Р₀),  B = f_xy (Р₀), C = f_yy (Р₀) и (Р₀) = АС - В², то возможны три случая:

1) при  (Р₀) > 0 Р₀ – точка экстремума, причем, в точке Р₀ максимум, когда А< 0, и минимум, когда А > 0;

2) при  (Р₀) < 0 Р₀ не является точкой экстремума;

3) при  (Р₀) = 0  о характере стационарной точки Р₀ никакого заключения сделать нельзя, нужны дополнительные исследования.

Замечание. Приведенные выше условия эквивалентны следующим. Пусть Р₀ – стационарная точка функции z = f(x, y), т. е. d f(Р₀) = 0, тогда:

1) если d²f(Р₀) < 0 при dx² + dy²  0, то f(Р₀) – максимум функции f(x, y);

2) если d² f(Р₀)  0 при dx² + dy²  0,  то f(Р₀) – минимум функции f(x, y);

3) если d²f(Р₀) меняет знак, то f(Р₀) не является экстремумом.

 

Пример  2. Исследовать на экстремум функцию z = (x² - 2y²) e ^{x - y}.  

Решение. Найдем стационарные точки функции. Для этого вычислим первые частные производные:

 

 

Приравнивая их к нулю, получим систему

 

 

Решениями системы являются две стационарные точки: Р₁(0, 0) и Р₂(–4, –2). Для выяснения их характера согласно теореме 2 найдем (Р₁) и (Р₂), вычислив предварительно значения частных производных второго порядка.

 

 

Для точки Р₁(0, 0) имеем  А = 2, В = 0, С = - 4 и  (Р₁) = АС - В ² = - 8 < 0. На основании теоремы 2 делаем вывод, что в точке Р₁  функция экстремума не имеет. Для точки Р₂  соответственно получаем

 

А = – 6е ^{- 2}, В = 8е ^{- 2}, С = – 12е ^{- 2} и ( Р₂) = АС – В ² =72е ^{- 4} - 64е ^{- 4}= 8е ^{- 4} > 0.

 

Следовательно,    Р₂(–4, –2) – точка экстремума, а поскольку  А = – 6е ^{- 2} < 0, то Р₂ – точка минимума и минимальное значение функции f(Р₂) = 8е ^{- 2}.