32. Дать определение предела функции в точке и в бесконечности, односторонних пределов (слева и справа) функции в конечной точке. Описать связь между ними.

Предел функции - основные понятия.

Бесконечность обозначают символом  . По сути, бесконечность   это есть либо бесконечно большое положительное число  , либо бесконечно большое отрицательное число  .

Что это означает: когда Вы видите  , то не имеет разницы   это или  . Но   лучше не заменять на  , равно как и   лучше не заменять на  .

Записывать предел функции f(x) принято в виде  , снизу указывается аргумент x и через стрелочку к какому значению   он стремится.

Если   представляет из себя конкретное действительное число, то говорят о пределе функции в точке.

Если   или  . то говорят о пределе функции на бесконечности.

Сам предел может быть равен конкретному действительному числу  , в этом случае говорят, что предел конечен.

Если  ,   или  , то говорят, что предел бесконечен.

Еще говорят, что предел не существует, если нельзя определить конкретное значение предела или его бесконечное значение ( ,   или  ). Например, предел от синуса на бесконечности не существует.

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех   выполняется неравенство   

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех   выполняется неравенство   

Предел слева обозначается   предел справа –  Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называютодносторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль:   и  . Так, для функции  

33. Каковы основные типы неопределенностей при вычислении пределов функций и способов их раскрытия?

Существуют случаи, когда не применимы теоремы о пределах суммы, произведения, частного, но предел существует и может быть вычислен. Если   и    , то может существовать  . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа  . Также может существовать    , в этом случае имеем неопределенность типа    . Если    и    , то может существовать   .   В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа  . Если      и    , то может существовать   - неопределенность типа   . Рассматривают также неопределенности типа  ,  и т. д. Основным признаком неопределенности является невозможность корректного вычисления функции простой подстановкой  в выражение для функции. Полезно запомнить замечательные пределы:

(е = 2.71828… - основание натуральных логарифмов) - неопределенность типа  .

        - неопределенность типа  .

36. Характеристика монотонности функции с помощью производной. Определение интервалов монотонности функций.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда отрицательное, либо всегда положительное. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Свойства монотонных функций

• Монотонная функция, f : { a,b } R ,определённая на замкнутом интервале, ограничена.

• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.

• Монотонная функция f : { a,b } R, дифференцируема почти всюду

Интервалом монотонности функции можно назвать промежуток, в котором функция либо только возрастает, либо только убывает.

Пример.

Исследовать на экстремум функцию f(x) = x/(x2 - 4) и найти ее промежутки монотонности.

Решение:

1) Функция определена для всех R, кроме x=-2, x=2

2) Найдем производную: f '(x)= -(x2 +4)/(x2 - 4)2 .

3) Заметим, что производная не обращается в ноль и отрицательна на всей области определения данной функции. Значит, точек экстремума нет, и функция является убывающей на всей области определения.

4) Таким образом, данная функция убывает на промежутках:-∞< x <-2; -2<x<2 и 2<x< +∞ .

Ответ: точек экстремума нет; функция убывает (∞;-2) , (-2; 2) и (2; +∞).