19 Дать определение обратной матрицы. Описать метод Гаусса-Жордана вычисления обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Обра́тнаяма́трица — такая матрицаA⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицуE:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Алгоритм решения по Гауссу-Жордану

1. Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.

2. Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.

4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.

5. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.

6. После повторения этой процедуры раз получают верхнюю треугольную матрицу

7. Вычитают из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

Пример

Для решения следующей системы уравнений:

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

• К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.

• К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:

• К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.

• Строку 2 делим на −2

• К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.

• К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.

• К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

.

28. Описать способы вычисления угла между двумя прямыми на плоскости с помощью нормальных векторов и с помощью угловых коэффициентов. Описать способы вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.

Вычисление угла  между прямыми,            заданными уравнениями  с угловыми  коэффициентами

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами k₁ и k₂:

у = k₁x + b₁   и  у = k₂x + b₂.

За нормальные векторы этих прямых можно взять n₁ = (k₁; —1) и n₂ = (k₂; —1). Формула (2) § 32 в этом случае имеет вид

                . (1)

С помощью этой формулы можно найти угол φ между прямыми с угловыми коэффициентами k₁ и k₂:

Если k₁ = k₂:, то cos φ =. 1 и φ = 0, т. е. прямые параллельны.

Если  k₁k₂+1= 0, то cos φ = 0 и φ = ^π/₂. т. е. прямые перпендикулярны.

Следовательно, необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами, формулируются следующим образом:

для того чтобы прямые у = k₁x + b₁   и  у = k₂x + b₂ были:

а) параллельны, необходимо и достаточно, чтобы k₁ = k₂

б) перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы k₁k₂ = —1.

Выведем еще одну (более простую) формулу для угла между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами.

Так как 0 < φ < 90°, то sin φ > 0 и

sin φ = √1 — cos²φ.

Подставив выражение для cos φ из формулы (1), получим

Отсюда и из формулы (1) следует, что для тангенса угла между прямыми с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ справедлива формула

          (2)

Если знаменатель в формуле (2) обращается в нуль, т. е. если k₁k₂+1= 0, то, как уже отмечалось выше, прямые перпендикулярны и φ = 90°.

Задача 1. Найти угол между прямыми у = —  ^x/₇ + 2 и   y = ³/₄ x + 5.

По формуле (2), полагая  k₁ = — ¹/₇,  k₂ = ³/₄, находим

Угол между прямыми равен 45°. ^

Задача 2. Вычислить угол между прямыми   у =  —  ^x/₄ + 1   и   у = 8х + 7.

Полагая в формуле (2)   k₁ = — ¹/₄,  k₂ = 8, получаем

По таблице тангенсов находим φ ≈ 83°.  

Задача 3. Доказать, что прямые у = —  ^x/₃ — 3  и  у = 3x — 1 перпендикулярны.

Проверим, выполняется ли условие перпендикулярности прямых:

k₁k₂ = (— ¹/₃ ) • 3 = — 1.

Следовательно, прямые перпендикулярны.

Расстояние от точки до прямой

     Дана прямая Ах+Ву+С=0 и точка Q(х₁, у₁). Требуется найти расстояние от точки Q до прямой. Это расстояние находится по формуле:                                                                  (7)      Пример. Даны вершины треугольника АВС: А(–2,3), В(1,12), С(11,6). Найти: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение высоты СD, опущенной из вершиныС на сторону АВ; 3) уравнение медианы АЕ;  4) уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром.      Решение. 1. Уравнение прямой, проходящей через точку А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂), имеет вид  . Чтобы найти уравнение стороны АВ, подставим координаты точек А и В в уравнение прямой:       ; у –3=3х +6; у=3 х+9 (АВ).      2. Высота СD перпендикулярна стороне АВ, а потому их угловые коэффициенты k_CD и k_AB удовлетворяют условию  . Из уравнения прямой АВследует, что k_AB =3, тогда  .      Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: y – y₁ =k (x– x ₁) . Подставив в уравнение координаты точки С и угловой коэффициент k_CD получим искомое уравнение высоты СD:          (СD).      3. Определим координаты точки Е. Применяем формулы деления отрезка пополам:  . Используя координаты вершин В и С получаем:             По точкам А и Е построим уравнение медианы АЕ:            4. Уравнение окружности радикса R с центром в точке К(а,b) имеет вид ( х–а)² +(у–b) ²= R².      Так как по условию медиана АЕ является диаметром искомой окружности; то центр окружности К делит отрезок АЕ пополам. Находим координаты точкиК:       .      Чтобы найти радиус R окружности, достаточно найти расстояние между точками А и К. Известно, что расстояние d между двумя точками плоскостиМ₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) определяется по формуле:  . Подставив координаты точек А и К, получаем  , т.е. R=5. Следовательно,  (х –2)² +(у –6)² =25 – искомое уравнение окружности.      Пример. В треугольнике с вершинами А(2,3), В(–1,0), С(4,1) найти длину высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.      Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через сторону ВС по формуле (5):        или  .      Найдем длину высоты АЕ по формуле (7):       .