51. Сформулировать понятие условной вероятности. Охарактеризовать свойство независимости случайных событий. Указать критерий независимости событий.
Пусть
функция f(x) определена
на полуоси 
и
интегрируема по любому отрезку [a,b],
принадлежащему этой полуоси. Предел
интеграла 
при 
называется
несобственным интегралом
функции f(x) от a до 
и
обозначается 
.
Итак,
по определению, 
.
Если этот предел существует и конечен,
интеграл
называется
сходящимся; если предел не существует
или бесконечен, интеграл называется
расходящимся.
Примеры:
1. 
;
этот предел не существует; следовательно,
исследуемый интеграл
расходится.
2.
; следовательно,
интеграл сходится и равен 
.
Аналогично
интегралу с бесконечным верхним пределом
интегрирования определяется интеграл
в пределах от 
до b : 
и
в пределах от
до
: 
.
В последнем случае f(x) определена
на всей числовой оси, интегрируема по
любому отрезку; c -
произвольная (собственная) точка
числовой оси; интеграл называется
сходящимся, если существуют и конечны
оба входящих в определение предела.
Пользуясь свойством аддитивности
определённого интеграла, можно показать,
что существование конечных пределов
и их сумма не зависят от выбора
точки c.
Примеры: 3. 
.
Интеграл сходится.
4. 
следовательно,
интеграл сходится и равен 
.
Очевидно
следующее утверждение, которое мы
сформулируем для интеграла с бесконечным
верхним пределом:
сходится
тогда и только тогда, когда для любого c,
удовлетворяющего неравенству c > a,
сходится интеграл 
(док-во:
так как при a < c < b по
свойству аддитивности 
,
и 
от b не
зависит, то конечный предел при
для
интеграла в левой части существует
тогда и только тогда, когда существует
конечный предел для интеграла в правой
части равенства).
52. Как вычисляется вероятность произведения а) Независимых в совокупности событий б) Произвольных событий?
А)
Событие 
называется
независимым от события 
,
если вероятность события
не
зависит от того, произошло событие
или
нет.
Событие называется зависимым от события , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.
Рассмотрим примеры.
1) Опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:
– появление герба на первой монете,
– появление герба на второй монете.
В данном случае вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет; событие независимо от события .
2) В урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:
– появление белого шара у 1-го лица,
– появление белого шара у 2-го лица.
Вероятность события до того, как известно что-либо о событии , равна 2/3. Если стало известно, что событие произошло, то вероятность события становится равной ½, из чего заключаем, что событие зависит от события .
Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается
.
Для условий последнего примера
; 
.
Условие независимости события от события можно записать в виде:
,
а условие зависимости – в виде:
.
Перейдем к формулировке и доказательству теоремы умножения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
.
(3.3.1)
Докажем
теорему умножения для схемы случаев.
Пусть возможные исходы опыта сводятся
к 
случаям,
которые мы снова для наглядности
изобразим в виде
точек:
Предположим,
что событию
благоприятны 
случаев,
а событию
благоприятны 
случаев.
Так как мы не предполагали
события
и
несовместными,
то вообще существуют случаи, благоприятные
и событию
,
и событию
одновременно.
Пусть число таких случаев 
.
Тогда
.
Вычислим 
,
т.е. условную вероятность события
в
предположении, что
имело
место. Если известно, что событие
произошло,
то из ранее возможных
случаев
остаются возможными только те
,
которые благоприятствовали событию
.
Из них
случаев
благоприятны событию
.
Следовательно,
.
Подставляя
выражения 
и
в
формулу (3.3.1), получим тождество. Теорема
доказана.
Очевидно, при применении теоремы умножения вполне безразлично, какое из событий и считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать в таком виде:
.
Отметим следствия, вытекающие из теоремы умножения.
Следствие 1. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .
Доказательство. Дано, что событие не зависит от , т.е.
.
(3.3.2)
Требуется доказать, что и событие не зависит от , т.е.
.
При
доказательстве будем предполагать,
что 
.
Напишем теорему вероятности в двух формах:
,
,
откуда
или, согласно условию (3.3.2),
.
(3.3.3)
Разделим
обе части равенства (3.3.3) на 
.
Получим:
,
что и требовалось доказать.
Из следствия 1 вытекает, что зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим модно дать следующее новое определение независимых событий.
Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.
Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.
Б)
Для произвольных событий A и B имеет место формула:
В случае n слагаемых (n>2) эта формула принимает вид:
Вероятность p(В|А) события В при условии наступления события А по определению равна:
Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:
Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:
События 
называются независимыми
в совокупности, если
вероятность любого из них не меняется
при наступлении какого угодно числа
событий из остальных.
Правило умножения вероятностей для n событий: если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.
Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле
В частности, если события независимы, то
