46. Охарактеризовать понятие определенного интеграла как предела интегральных сумм. Сформулировать простейшие свойства определенного интеграла и дать их геометрическую интерпретацию.

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 ,x_i], …, [x_n-1 , x_n]; длину i-го отрезка обозначим  :   ; максимальную из длин отрезков обозначим  . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку   и составим сумму  .  Сумма   называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм   при  , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b]на части [x_i-1 , x_i], ни от выбора точек  , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается  .  Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.  Кратко определение иногда записывают так:  .  В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению:  Если b=a, то  ; если b<a, то 

47. Охарактеризовать свойства определенного интеграла как функции его верхнего предела. Сформулировать и доказать формулу Ньютона-Лейбница.

 Интеграл с переменным верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования:  (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела:  . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:  Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и  .  Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.  Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение  . Тогда    , где c - точка, лежащая между x и   (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком р авенства - номер применённого свойства определённого интеграла).  . Устремим  . При этом   (c- точка, расположенная между x и  ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то  . Следовательно, существует   , и  . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой  . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

Формула Ньютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции  , то  .  Док-во. Мы установили, что функция   - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как  , то  . В равенстве   переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно,  .  Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом:   (здесь   читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так:  .  Пример применения формулы Ньютона-Лейбница:  .