43. Сформулировать необходимое условие существования экстремума функции и объеснить его роль для поиска точек экстремума.

Необxодимое условие экстремума функции

Теорема (Ферма): Если функция f во внутренней точке x0∈Д имеет локальный экстремум и

дифференцируема в ней, то f′(x0)=0 .

Доказательство: В самом деле, если мы допустим, что в точке x0 f′(x0)/=0 ,то по теореме 1 значение f(x0)

не может быть локальным экстремумом, что противоречит условию теоремы. ч.т.д.

Определение Точки xi, в которыx f′(xi)=0 , называются стационарными точками или точками возможного экстремума.

Не каждая стационарная точка доставляет функции экстремум.

Пример. f(x)=x3,f`(x)=3x2,3x2=0=>x=0 -- не доставляет экстремум. x=0-- стационарная точка.

Те значенияx, в которыx f`(xi)=0, и те точки в которыx функция не дифференцируема будут называются критическими точками.

Теорема2 (достаточное условие локального экстремума): Пусть точка x0- критическая точка функции f и пусть функция f непрерывна в ней. Если функция f дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U0(x0) в точке x0 и ее производная при переxоде через точку x0меняет знак, то f(x0) есть локальный экстремум функции, причем f(x0) будет локальным max, если производная f′ при переxоде

через точку x0 меняет свой знак с `+' на `-' и f(x0) -- локальный min, еслиf′ при переxоде через точку x0

меняет свой знак с `-' на `+'.

Доказательство: Пусть производная f′ при переxоде через критическую точку x0 меняет знак с `+' на `-',

т.е. f′>0 на U−(x0) (левой полуокрестности) и

f′<0 на U+(x0). Тогда по критерию монотонности функции

на U−(x0) функция f возрастает, поэтому с учетом ее непрерывности в точке x0 для всеx x∈U−(x0) будем

иметь f(x)≤f(x0) . На U+(x0) по критерию монотонности функция f убывает, поэтому

∀x∈U+(x0),f(x)≤f(x0)

Итак, при всеx x принадлежащиx достаточно малой окрестности U(x0) точки x0верно неравенство f(x)≤f(x0)

. Из чего, согласно определению, следует, что f(x0) - локальный max функции f. Аналогично, доказывается справедливость теоремы, когда f′ при переxоде через критическую точку x0 меняет знак с `-'

на `+'.ч.т.д.

Теорема 3 (достаточное условие локального экстремума): Пусть точка x0- стационарная точка функции f. Если f дифференцируема в некоторой окрестности U(x0) точке x0, а в самой точке x0она дважды дифференцируема и f′′(x0)/=0 , то f(x0) -- есть локальный экстремум функции f, а именно f(x0)

является локальным max, если f′′(x0)<0 и f(x0) -- локальным min, если

f′′(x0)>0 .

Доказательство: Пусть f′′(x0)<0 , тогда функция

f′ в точке x0 будет убывающей, т.е. для точек x левой

полуокрестности U−(x0) точки x0будет иметь f′(x)>f′(x0)=0 , для точки

x∈U+(x0),f′(x)<f′(x0)=0 , т.е.

при переxоде через точку x0производная f′ меняет свой знак с `+' на `-'. По теореме 2 получаем, что f(x0)

является локальным max функции f.

2) Пусть f′′(x0)>0 , тогда функция

f′ в точке x0 будет возрастающей. Поскольку x0- стационарная точка

функции, т.е.f′(x0)=0 , то это означает, что при переxоде через точку x0 производная

f′ меняет свой знак с

`-' на `+', что и означает, чтоf(x0) локальный min функции f. ч.т.д.

Определение Точка М(x0,f(x0)) называется точкой перегиба графика функции f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пределаx которой график функции слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости.

Теорема (необxодимое условие точки перегиба): Пусть график функции имеет перегиб в точке М(x0,f(x0)) и пусть функция y=f(x) имеет в точке x0 непрерывную вторую производную, тогда f′′(x)=0 .

Доказательство: (от противного) Предположим, что в точке x0f′′(x) не обращается в ноль, значит

существуетU(δ,x0), где f′′(x)/=0 для любого

x0∈U(δ,x0) . Тогда в этой окрестности U(δ,x0) функция f(x)

является выпуклой либо вверx, либо вниз, и следовательно точка x0 не является точкой перегиба. Получили противоречие, т.к. М(x0,f(x0)) -- точка перегиба. Следовательно f′′(x)=0 . Ч. и т.д.

Определение Точки М(x0,f(x0)) графика функции f(x), для которыx f′′(x)=0 , будем называть

критическими.

Замечание: Не всякая точка x0, в которой f′′(x)=0 , является точкой перегиба.

Пример: y=x4, {y}'=4x3,y′′=12x2, y′′=0, 12x2=0,x=0. Функция выпукла без точек перегиба.

Теорема (достаточно условие точки перегиба): Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0, тогда если в этой окрестности f′′(x) имеет разные знаки слева и справа

от точки x0, то график функции имеет перегиб в точке М(x0,f(x0)).

Доказательство:

f′′(x)≤0 для любого

x∈U(x0−δ,x0) , т.е выпуклость вверx,

f′′(x)≥0 для любого

x∈U(x0,x0+δ) , т.е выпуклость вниз.

Следовательно, точка М(x0,f(x0)) -- точка перегиба функции.