1. Примеры здания конечных и бесконечных множеств с

помощью перечисления или описания.

Множество, равномощное отрезку натурального ряда, а также пустое множество (Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента; обозначается ∅ . Пустое множество является подмножеством любого множества. Мощность пустого множества равна нулю.), называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Множества обычно обозначают большими буквами: A, B, C, N, ..., а элементы этих множеств − аналогичными маленькими буквами: a, b, c, n, ...

Способы задания множеств. Множество может быть задано перечислением всех его элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: А = { 1, 2, a, x } или B = { река Нил, город Москва, планета Уран}.

Пример A={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} – множество арабских цифр B={а,б,в,г,…, э,ю,я} – русский алфавит Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись A = { x|P( x ) }, которую читают следующим образом: "A есть множество элементов x таких, что для них выполняется свойство P( x )". Пример B = { x| x- натуральное число, меньшее 10 }, при этом, очевидно, B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.

Отрезок [0;1] = {x: xЄR, 0≤x≤1}

2. Привести примеры подмножеств а) множества натуральных чисел; б) множества целых чисел; в) множества рациональных чисел.

а) A={ 1,2, …} – множество натуральных чисел; подмножество: А₁={ 1,3,5,7 }⊂ А

б) А={ …,-2,-1,0,1,2, …} – множество целых чисел; подмножество: А₁={ -3, -1, 1,3, 5}⊂ А

в) А={ … ,- , , ,…} – множество рациональных чисел; подмножество: А₁={ … ,- , , ,…}

3. Привести примеры результатов выполнения над множествами действий объединения, пересечения, вычитания, дополнения.

Объединением (U) множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств (т. е. либо A, либо B, либо одновременно и A и B).

Пример. Даны множества А = {-6, -3, 0, 3, 6} и B = {0, 2, 4, 6, 8}. Тогда A U B = {-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}.

Пересечением(∩) множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.

Пример. Даны множества А = {-6, -3, 0, 3, 6} и B = {0, 2, 4, 6, 8}. Тогда A ∩ B = {0, 6}.

Разностью множеств А и В называется множество А\В, содержащее те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

Пример Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти A \ B и B \ A.

Решение

A \ B = {2, 4, 6, 8}.

B \ A = {11, 13, 17, 19}.

Для дополнения множества А до универсального множества U применяется обозначение

Пример Пусть U = {1,2,3,4,5,6} и

1	2	3	4	5	6
0	0,1	0,2	0,5	0,3	0,2

A=

1	2	3	4	5	6
1	0,9	0,8	0,5	0,7	0,8

Тогда =

4. Дать определение и привести примеры прямых произведений множеств.

П рямым произведением множеств (Р.Декарт) X и У называется множество, обозначаемое ХхУ и состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству У.  Таким образом, элементами прямого произведения являются двухэлементные кортежи( упорядоченный набор) вида ( x,y). Формальное определение XxY = {(x, y) I x ∈ X, y ∈ Y}

Пример 1 Пусть X={1,2}, Y={1,3,4}. Тогда XxY={<1,1>, <1,3>, <1,4>,<2,1>, <2,3>, <2,4>} геометрическое представление этого множества(см. рисунок):

Пример2 Пусть A={0,1}. Найдем декартов квадрат – А²

А² = АхА = {<0,0>, <0,1>,<1,0>,<1,1>}

5.Дать определение интервала и окрестности

Интервал— множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними.

Окрестностью О(а)  точки а называется любой интервал α<х<β, окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.