Соприкасающаяся плоскость. Естественный трехгранник Френе
Соприкасающейся плоскостью к кривой в ее точке называется предельное положение касательной.
Если кривая
имеет непрерывную производную
в окрестности точки
и вторую производную
такую, что
,
то соприкасающаяся плоскость к этой
кривой в точке
существует и имеет уравнение
, (1.22)
где радиус−вектор текущей точки плоскости.
Из точки
кривой
можно выпустить три единичных вектора
,
определяющих естественную прямоугольную
систему координат в окрестности точки
:
,
,
,
(1.23)
где
,
,
.
Здесь
− единичный вектор касательной,
направление
зависит от от параметра
;
− единичный вектор
главной нормали, направлен в сторону
вогнутости кривой;
− единичный вектор
бинормали, определяется как перпендикуляр
к векторам
и
,
и направлен так, что вектора
образуют правую тройку векторов.
Приложенные к движущейся по кривой точке векторы образуют естественный трехгранник Френе.
Практикум Вектор-функция
Пример. Дан
радиус-вектор движущийся в пространстве
точки
(
- время,
и
- постоянные). Найти годографы скорости
и ускорения.
Скорость движущейся
точки вычисляется по формуле
Чтобы построить
годограф
положим, что
,
это параметрическое задание винтовой
линии, т.е. годограф
− винтовая линия.
Найдем годограф
ускорения
.
Следовательно,
годограф
линия заданная параметрически следующим
образом
,
это параметрические задание окружности,
т.е. годограф ускорения
-
окружность.
Пример. Дано
.
Найти производные
а)
;
б)
;
в)
а) Используем правило дифференцирования скалярного произведения
,
т.к.
,
следовательно
.
б) Аналогично примеру а) получаем
в) Используем правило дифференцирования векторного произведения
,
тогда
т.к.
Пример. Найти
радиус кривизны линии
при
.
Кривизна линии
заданной векторно-параметрическим
уравнением
,
где параметр
– произвольный, определяется по формуле
,
где
,
,
.
Вычислим векторное произведение
.
.
Тогда
,
и
.
Следовательно, радиус кривизны равен
.
Пример. Написать
уравнение соприкасающейся плоскости
в точке
=0
кривой
.
Векторное уравнение
соприкасающейся плоскости к кривой
в точке
имеет следующий вид:
.
Найдем частные
производные первого и второго порядка
,
.
Вычислим векторное
произведение найденных функций и
посчитаем его значение при
:
,
Так как вектор
равен:
,
то уравнение соприкасающейся плоскости
имеет вид:
или
.
Пример. Найти
кручение в любой точке
кривой
.
Кручение кривой
заданной вектор функцией
определяется по следующей формуле:
.
,
,
.
,
тогда
.
