Властивості функції Лапласа

1. Ф(x) визначена на всій осі абсцис.

2. Ф(–x) = – Ф(x), отже, Ф(x) є непарною функцією.

3. Ф(0) = 0.

4.  , оскільки є інтегралом Пуассона.

5. Ф(– , як непарна функція.

6.  , отже, Ф (х) є функцією неспадною.

7. Ф"(0) = 0;

Таким чином, x = 0 є точкою перегину.

Графік функції Ф(х) зображено на рис. 17

Рис. 17 Рис. 18

Розв’язуючи задачі, додержують такого правила:

, .

Отже, практично функція Лапласа застосовується для значень , що ілюструє рис. 18.

Приклад 2. В електромережу ввімкнено незалежно одну від одної 500 електролампочок, які освітлюють у вечірній час виробничий цех заводу. Імовірність того, що електролампочка в електромережі не перегорить, є величиною сталою і дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що з 500 електролампочок не перегорить:

1) не більш як 380 шт.;

2) не менш як 390 шт.

Розв’язання. За умовою задачі:

; ; ; ; ;

1. 

;

2)  ;

;

18. Використання інтегральної теореми

За допомогою , можна оцінити близькість відносної частоти W(А) до ймовірності p випадкової події А. Нехай p — імовірність появи випадкової події А в кожному експерименті за схемою Бернул­лі й W(А) — відносна частота появи цієї події при n експериментах.

Необхідно оцінити ймовірність події W(A) – р<  ( > 0 і є малою величиною). Якщо n набуває великих значень, то можна за формулою , дістати:

Р(|W(A) – p| < )

=

.

Отже,

. (46а)

Приклад 1. Імовірність виходу з ладу виробу під час проведення експерименту, який має на меті виявити надійність виробу в роботі, дорівнює 0,2. Було перевірено 400 виробів. Чому дорівнює ймовірність такої події: абсолютна величина відхилення відносної частоти виходу із ладу виробів від імовірності p = 0,2 становить  = 0,01?

Розв’язання. За умовою задачі: n = 400; p = 0,2; q = 0,8;  = 0,01. Підставивши ці значення в (46), дістанемо:

19. Формула Пуассона

Імовірність того, що за проміжок часу t +  не відбудеться жодна подія, подається у вигляді:

(52)

Імовірність того, що за цей самий проміжок часу здійсниться m подій, визначається так:

(53)

оскільки .

Перенісши і в рівняннях (52), (53) у ліву частину, дістанемо таку систему рівнянь:

(54)

Поділимо ліву і праву частини системи рівнянь (54) на і виконаємо граничний перехід при . У результаті дістанемо систему лінійних диференціальних рівнянь:

;

. (55)

Для розв’язування системи (55) використаємо твірну функцію

. (56)

Розглянемо властивості функції А(х, t). При х = 1 А(1, t) = 1.

При х = 0 А(0, t) = p₀(t), А(х, 0) = р₀ (0) = 1,

. (57)

Помножимо друге рівняння системи (55) на х^m і підсумуємо ліву та праву частини рівняння:

.

або з урахуванням (56)

. (58)

Розв’язавши диференціальне рівняння, дістанемо:

, (59)

оскільки А(х, 0) = р₀ (0) = 1.

Згідно з властивістю А(x, t) маємо:

;

.

Отже, імовірність того, що за час t відбудеться m випадкових подій, які утворюють найпростіший потік, обчислюється за формулою

, (60)

де — це інтенсивність найпростішого потоку, тобто: середнє число подій, які відбудуться за одиницю часу [с, хв, год].

Приклад. Автомобілі, що рухаються по шосе в одному напрямку, утворюють найпростіший потік із параметром (тобто, через умовну лінію, яка проведена перпендикулярно до шосе в певному місці, у середньому проїжджає 3 автомобілі за 1 с. Обчислити ймовірність того, що за 2 с через умовну лінію проїде: 1) 4 автомобілі; 2) не більш як 4.

Розв’язання. Із умови задачі: .

За таблицею (дод. 3), коли знаходять:

1)  ;

2) 

=

Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій

Точність асимптотичних формул для великих значень n — числа повторних незалежних експериментів за схемою Бернуллі — знижується з наближенням p до нуля. Тому при за умови np = a = const імовірність появи випадкової події m раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:

, (47)

яка називається формулою Пуассона.

!

Доведення. Оскільки а = np, то .

Запишемо формулу Бернуллі у такому вигляді:

Коли , дістаємо:

.

Оскільки ,

.

Отже,

,

а для великих, але обмежених значень n маємо:

, що й потрібно було довести.

Із (47) випливає:

; (48)

.

І справді, це підтверджується ще й тим, що події утворюють повну групу.

Функція Р_n (m) визначається за таблицею, наведеною в дод. 3, за заданим m і обчисленим значенням а = np.

Приклад 1. Радіоприлад містить 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один від одного, причому кожний може вийти з ладу під час роботи приладу з імовірністю р = = 0,002. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) під час роботи приладу з ладу вийдуть 3 мікроелементи; 2) від трьох до шести.

Розв’язання. За умовою задачі маємо n = 1000; p = 0,002; m = 3; 3 . Оскільки n велике, а р мале число, то для обчислення ймовірностей застосуємо формули (47) і (48). Для цього обчислимо значення параметра а = np = 1000 · 0,002 = 2.

1) .

2)