7.9. Гармонический осциллятор в квантовой механике.
Линейным гармоническим осциллятором в классической механике называется система, совершающая колебательное периодическое движение под действием квазиупругой силы около положения устойчивого равновесия, описываемое уравнением вида . Данная система является моделью, используемой при описании классических и квантовых систем. Пружинный, физический и математический маятники – примеры классических гармонических осцилляторов.
Согласно классической
механике одномерный осциллятор совершает
гармонические колебания с циклической
частотой
,
где k
– постоянная квазиупругой силы. Поэтому
потенциальная энергия одномерного
гармонического осциллятора может быть
определена как парабола
.
Классический
осциллятор не может выйти за пределы
потенциальной «ямы» с координатами
,
где
–
координаты точек поворота, в которых
E=U
. Частица может двигаться только в
области, где
,
т. е. между точками поворота. В квантовой
теории задача о квантовом гармоническом
осцилляторе сводится к задаче о движении
частицы массой m
в параболической потенциальной яме.
Уравнение Шрёдингера для одномерного
квантового осциллятора, для которого
потенциальная энергия имеет вид,
записывается так:
,
где Е – полная энергия осциллятора. В
уравнении
имеет смысл
циклической частоты классического
одномерного осциллятора. Собственные
значения энергии для этого уравнения,
как можно доказать, равны
Таким образом,
энергия квантового осциллятора в отличие
от классического не может быть
произвольной, а квантуется (может иметь
лишь дискретные значения). Разность
энергии между соседними уровнями
определяется как дельта
.
Следовательно,
уровни энергии квантового осциллятора
расположены через равные интервалы
и
называются эквидистантными.
Минимальная энергия
квантового осциллятора лежит выше
минимума потенциальной энергии U
= 0 . Неравенство нулю
осциллятора
– типично квантовый эффект – прямое
следствие соотношения неопределенностей.
Наличие нулевой энергии подтверждается
экспериментально.
Следовательно, энергия гармонического осциллятора в излучательных процессах может изменяться только порциями : гармонический осциллятор испускает и поглощает энергию квантами.
Решения уравнения
таковы, что имеется отличная от нуля
вероятность обнаружить частицу за
пределами области
,
т. е. в классически запрещенной области,
где E
<U
. Существование отличных от нуля значений
за
пределами потенциальной «ямы» объясняется
волновыми свойствами микрочастиц.
Отметим, что рассмотренная модель гармонического осциллятора и связанная с ним задача о движении частицы в параболической потенциальной «яме» является идеализацией, которая справедлива только при малых отклонениях колеблющейся частицы от положения равновесия. В реальных системах потенциальная энергия U частицы, совершающей колебания около положения равновесия, имеет более сложный вид. При возрастании амплитуды колебаний движение частицы будет все больше усложняться, отличаясь от гармонических колебаний. Такое движение называют ангармоническим движением, а соответствующий осциллятор – ангармоническим осциллятором.