7.5. Неприменимость понятия траектории к микрочастицам. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Исследования поведения электронов при прохождении через две щели показывают, что предсказать или точно проследить за траекторией отдельного электрона в пространстве и времени невозможно. Таким образом, электронам, а также другим микрочастицам, строго говоря, нельзя приписать траектории. Например, в микроэлектронике и нанотехнологиях электрон необходимо рассматривать как квантовый объект.

Однако при определенных условиях, а именно когда де-бройлевская длина волны микрочастицы становится очень малой и может оказаться много меньше, например, расстояния между щелями или атомных размеров, понятие траектории снова приобретает смысл.

Квантовая механика утверждает, что положение и скорость микробъекта одновременно не могут быть точно известны. Эта идея составляет суть принципа неопределенности, открытого В. Гейзенбергом. Количественные соотношения, выражающие этот принцип в конкретных случаях, называют соотношениями неопределенностей. Если - неопределенность значения координаты х центра масс системы, а – неопределенность проекции импульса на ось Х, то произведение этих неопределенностей должно быть не меньше постоянной Планка .

Соотношение неопределенностей, устанавливающее неопределенность измерения энергии за данный промежуток времени , имеет вид

7.6. Задание состояния частицы в квантовой механике. Волновая функция и ее статистический смысл. Нормировка.

Для описания состояния квантовой системы в данный момент времени вводится комплексная волновая функция (пси-функция) . Она определяется так, что вероятность dP нахождения частицы в некоторый момент времени в элементе объема dV прямо пропорциональна и элементу объема dV : где ; – функция, комплексно сопряженная c . Волновую функцию называют амплитудой вероятности. Пси-функция непосредственно не измеряется на опыте. Квадрат модуля функции задает интенсивность волн де Бройля и явля-

ется экспериментально наблюдаемой величиной. Физический смысл :

– это плотность вероятности P , т. е. вероятность нахождения частицы в точке пространства с координатами х, y, z в момент времени t: .

Пси-функция должна удовлетворять условию нормировки:

где интеграл берется по всему пространству . В этом случае пси-функция называется нормированной.

Условие нормировки волновой функции означает, что пребывание частицы где-либо в бесконечном трехмерном пространстве есть достоверное событие и, следовательно, его вероятность равна единице. Волновая функция должна удовлетворять стандартным (естественным) условиям, находящимся в соответствии с ее вероятностной трактовкой:

1) быть конечной;

2) однозначной;

3) непрерывной;

4) гладкой, т.е. без изломов во всем пространстве, даже в тех точках (линиях, поверхностях), где потенциальная энергия терпит разрыв.

7.7. Стационарные состояния. Временное и стационарное уравнение Шредингера.

Уравнение Шрёдингера описывает изменение во времени состояния квантового объекта, характеризуемого волновой функцией. Если известна волновая функция в начальный момент времени, то, решая уравнение Шрёдингера, можно найти в любой последующий момент времени t.

Уравнение Шрёдингера для частицы массой m, движущейся со скоростью, много меньшей скорости света в вакууме (v<< c ), под действием силы, порождаемой потенциалом U(x,y,z,t) : , где i – мнимая единица, – оператор Лапласа; – временная волновая функция частицы, которая зависит от координат и времени. Уравнение содержит производную от функции по времени и называется временным (нестационарным) уравнением Шрёдингера.

Стационарными состояниями называют состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не изменяются с течением времени. В стационарных состояниях состояние частицы в данный момент времени описывается периодической функцией времени с циклической частотой . При этом -функция определяется полной энергией частицы: , где функция не зависит от времени, а выражение для частоты следует из соотношения, связывающего полную энергию Е частицы (в случае стационарного поля E = const ) и частоту де-бройлевской волны.

Стационарное уравнение Шрёдингера: .

Уравнение Шрёдингера является математическим выражением корпускулярно-волнового дуализма. Оно удовлетворяет принципу соответствия Бора и в предельном случае, когда длина волны де Бройля значительно меньше размеров, характерных для рассматриваемого движения, позволяет описать движение частиц по законам классической механики.