22)Расчет движения системы с помощью уравнения Лагранжа.

Как указывалось ранее, простым и удобным методом составления уравнений движения систем с одной степенью свободы является применение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Если же система обладает несколькими степенями, то применение теоремы не позволяет решить поставленную задачу. Принцип Даламбера и метод кинетостатики позволяет составить динамические уравнения движения с несколькими степенями свободы. В аналитической механике, используя вариационный принцип Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики), можно составить уравнения движения для любых систем с любым числом степеней свободы, а тот же принцип, но в обобщенных координатах, справедлив для голономных систем. Однако применение трех последних методов связано с трудностями вычисления сил инерции системы, что существенно ограничивает применение этих методов.

Процесс составления дифференциальных уравнений и их решение значительно упрощаются при использовании дифференциальных уравнений движения системы в обобщенных координатах или уравнений Лагранжа второго рода.

Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа второго рода.

Для вывода уравнений запишем принцип Даламбера-Лагранжа в обобщенных координатах в виде -Q_j^u = Q_j (j = 1 ÷ s).

Принимая во внимание, что Ф_i = -m_ia_i = -m_idV_i / dt, получаем

(1)

Далее обобщенные силы инерции в левой части нужно выразить через кинетическую энергию. Это впервые сделал Лагранж, который доказал, что для систем с голономными связями обобщенные силы инерции равны

(2)

Подставляя (2) в (1) получаем дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, которые названы уравнениями Лагранжа второго рода:

(3)

то есть, материальная система с голономными связями описывается уравнениями Лагранжа второго рода по всем s обобщенным координатам.

Отметим важные особенности полученных уравнений.

1. Уравнения (3) - это система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно s неизвестных функций q_j(t), полностью определяющих движение системы.

2. Число уравнений равно числу степеней свободы, то есть движение любой голономной системы описывается наименьшим числом уравнений.

3. В уравнения (3) не нужно включать реакции идеальных связей, что позволяет, находя закон движения несвободной системы, выбором обобщенных координат исключить задачу определения неизвестных реакций связей.

4. Уравнения Лагранжа второго рода позволяют указать единую последовательность действий для решения многих задач динамики, которую часто называют формализмом Лагранжа.

Уравнения Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил.

Если все силы системы потенциальны, то обобщенные силы системы выражаются через потенциальную энергию системы как Q_j = -дП / дq_j, а уравнения Лагранжа второго рода запишутся в виде

Так как потенциальная энергия не зависит от обобщенных скоростей, то . Введем в рассмотрение функцию

L = T - П

(4)

которую называют функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Тогда уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил запишутся так:

(5)

Если среди сил системы вместе с потенциальными присутствуют непотенциальные силы, например силы трения, то обобщенные силы системы складываются из обобщенных потенциальных сил Q_jⁿ = -дП / дq_j и обобщенных непотенциальных сил Q_j, а уравнения (3) принимают вид

(6)

При обобщении понятий функции, аналогичные функциям Лагранжа, описывают состояние не только механических систем, но и систем иной физической природы, например, непрерывной среды, гравитационного, электростатического или электромагнитного поля и т.д.

Таким образом, уравнения Лагранжа второго рода (3) и (5) являются наиболее универсальными, наиболее общими уравнениями движения материальных систем. Они используются не только в теоретической механике и в ее приложениях, но и в других науках, в частности в теоретической физике, электротехнике и теории управления.