21) Движение системы с двумя степенями свободы. Приведение системы с двумя степенями свободы к двум системам с одной степенью свободы

На рис. 12.25, а изображена простейшая упругая система с двумя степенями свободы. На рис. 12.25, б показаны деформации системы при действии на нее единичных сил, приложенных в точ­ках, где расположены массы в направлении их движения. В соот­ветствии с рис. 12.25 а, б можно записать

у₁ = δ₁₁ [ -m₁ӳ₁ (t) + Р₁ (t)] + δ₁₂ [-m2ӳ₂ (t) + Р₂ (t)]

у2 = δ₂₁ [ -m₁ӳ₁ (t) + Р₁ (t)] + δ₂₂ [-m2ӳ₂ (t) + Р₂ (t)] (12.131)

или

δ₁₁ m₁ӳ₁ (t)+ δ₁₂ m₂ӳ₂ (t)+y₁(t) = δ₁₁P₁(t)+ δ₁₂P₂(t)

δ₂₁ m₁ӳ₁ (t)+ δ₂₂ m₂ӳ₂ (t)+y₂(t) = δ₂₁P₁(t)+ δ₂₂P₂(t) (12.132)

Запишем равенства (12.132) в матричной форме

BM ӳ (t)+y(t) = BP(t), (12.1ЗЗ) (везде вектора)

где

M = m0M̅ = m0 [m̅1 0] , m̅1 = m1/m0 , m̅2 = m2/m0

[ 0 m̅2]

B = δ0B̅ = [ δ̅11 δ̅12] , δ̅ tj = δtj/ δ0

[ δ̅21 δ̅22]

Здесь m0 и δ0—соответственно масса и перемещения, принятые в качестве основных

последующих арифметических выкладок, например можно вынести из матриц буквенные сомножители);

y(t) =[y1 ] , ӳ (t) =[ ӳ1 ] , P(t) = [P1(t)] (все вектора)

[y2 ] [y2 ] [P2(t)]

Таким образом, уравнение движения для системы с двумя степенями свободы выглядит аналогично уравнению для системы с одной степенью свободы, только вместо податливости используется матрица податливости В, вместо массы т — матрица масс M,

вместо перемещения и ускорения у, ӳ —векторы перемещений и

ускорений у, ӳ (оба вектора), вместо нагрузки Р (t) — вектор нагрузки Р (t).

Подставляя в уравнение (12.133) вместо В и М приведенные выше выражения, получим

δtj т0 B̅ M̅ ӳ (t) + у(t)=ВР(t). (y – вектора) (12.134)

Деля обе части уравнения (12.134) на m0δ0 получим

B̅ M̅ ӳ (t) +1/ m0δ0 *у(t)=1/ m0*BP(t).

(y – вектора) (12.135)

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (12.135), имеет вид

B̅ M̅ ӳ (t) +1/ m0δ0 *у(t)=0

(y – вектора) (12.136)

в случае системы с одной степенью свободы решение будет иметь вид

у (t) = Y sin (ωt+φ0).

(y – вектора)

Естественно предположить, что в случае системы с двумя степе­нями свободы каждая из масс движется по одному и тому же закону sin (ωt+φ0) но имеет свою амплитуду (колебания типа Стоящей волны)

y(t) =[Y1 ] * sin (ωt+φ0) = Y(вектор) sin (ωt+φ0) (12.137)

[Y2 ]

Подставляя (12.137) в (12.136), получим

— ω2 B̅ M̅Y sin (ωt+φ0) + 1/ m0δ0 Y sin (ωt+φ0)=0.

(Y – вектора) (12.138)

Деля уравнение на (—ω2) и вынося sin (ωt+φ0), получим

(B̅ M̅Y - 1/ ω2 m0δ0 * Y) sin (ωt+φ0) = 0

(Y – вектора)

Сокращая на sin (ωt+φ₀) и вынося У, получим

₍B̅ M̅ - λ_{E)Y=о или} B̅ M̅Y_=λУ,

(Y – вектора) (12.139)

где Е—единичная матрица (ее введение порождено тем, что из матрицы можно вычитать только матрицу, а не число);

λ=1/ ω2 m0δ0 (12.140)

Система (12.139) представляет собой систему однородных линей­ных. уравнений относительно У. Эта система либо имеет единственное решение Y = 0 [этот случай соответствует отсут­ствию колебаний, см. (12.137)], либо имеет множество решений

У не равно 0, В этом случае

det(B̅ M̅ - λE ) = 0. (12.141)

Развернем это выражение:

(12.142)

Вводя обозначения, получим

(12.143)

Подставляя (12.143) в (12.142), получим

(12.144)

В соответствии с выражением (12.144) можно найти два значения λ (причем можно показать, что эти оба значения будут действительными в предельном случае может оказаться, что λ1 = λ2). Этим двум значениям λ в соответствии с формулой (12.140) соответствуют два значения ω

ω1 = 1/корень (λ1m0δ0 ) , ω2 = 1/корень (λ2m0δ0 ) (12.145)

Таким образом, у системы с двумя степенями свободы есть дие собственные частоты (в предельном случае эти частоты могут сов­падать).

Из уравнения (12.139) определим значения амплитуд У, соот­ветствующих ω1 и ω2. Как следует из предыдущего, λ1, 2 найдено

из условия, что det(B̅ M̅ - λE ) = 0, т.е. уравнения (12.139) являются линейно зависимыми и отличаются одно от другого множителем.

Используем для симметрии формул при определении Yl = [Y11 У12]г—

первое .уравнение, а при определении У2 = [У21 У22]т— второе урав­нение:

(̅δ̅11 m̅1 – λ1)Y11+ δ̅12 m̅2 Y12 = 0 (12.146)

δ̅21 m̅1 Y21 + (̅δ̅22 m̅2 – λ2)Y22 = 0 (12.147)

Примем Y11 = l и У22=1, тогда в соответствии с выражениями (12.146) и (12.147) получим

Y12 = - (δ̅11 m̅1 – λ1)/( δ̅12 m̅2) , Y21 = - (δ̅22 m̅2 – λ2)/( δ̅21 m̅2)

Матрица собственных форм будет иметь вид

Y = [1 Y21]

[Y12 1] (12.149)

Первый столбец матрицы (12.149) определяет форму колебаний, соответствующую ω1 (первая форма), а второй — ω2 (вторая форма).

Если векторы, характеризующие собственные формы (12.149), умножить на постоянное число, то они будут удовлетворять условию (12.139), т. е. будут являться векторами собственных форм. Например, можно из вектора вынести максимальную координату, тогда наибольшая координата будет равна единице, а остальные — мень­ше единицы. Можно выносимый коэффициент подобрать так, чтобы длина вектора была бы равна единице. Описанный процесс носит название процесса нормирования векторов собственных форм.

Подсчитаем силы инерции, соответствующие первой и второй собственным формам. Итак,

y1(t) = Y1 sin (ω1t+φ0)

y2(t) = Y2 sin (ω2t+φ0)

(y, Y – вектора) (12.150)

J1 = - ω12MY1 sin (ω1t+φ0) (12.151)

J1 = - ω22MY2 sin (ω2t+φ0)

Подсчитаем работу сил инерции, соответствующих первой форме на перемещениях, соответствующих второй форме, и наоборот. Эти работы в силу теоремы о взаимности работ равны друг другу:

J1Ty2(t) = J2Ty1(t) = y1T(t)J2

Подставляя (12.150), (12.151) в (12.152) и сокращая на sin (ω1t+φ0) sin (ω2+φ0) получим

ω12Y1TMY2 = - ω22 Y1TMY2

Перенося все слагаемые в левую часть, будем иметь

(ω12 - ω22 ) Y1TMY2 = 0 (12.153)

Y1TMY2 = 0

Если М =E(единичная матрица), то векторы Y\ и У2 являются ортогональными (см. § 13.7); если М¥=Е, то векторы, соответ­ствующие выражению (12.153), называются ортогональными

с весом М.

В силу (12.153) имеем

YTMY = [1 Y12]*[m̅1 0]*[1 Y21]=[m̅1+ m̅2Y212 0]

[Y21 1] [0 m̅2] [Y12 1][0 m̅2+m̅1Y221]

Поделим вектор, соответствующий первой форме (12.149), на корень (m̅1+ m̅2Y212 )а вектор, соответствующий второй форме на корень (m̅2+m̅1Y221) , тогда матрица собственных форм будет иметь вид

Y̅ = [1/корень(m̅1+ m̅2Y212) Y21/корень(m̅2+m̅1Y221)]

[Y12/корень(m̅1+ m̅2Y212) 1/ корень(m̅2+m̅1Y221)]

При этом получим

УTMY = E. 12.156

Вернемся к уравнению (12.133) и перейдем в нем к новым неизвестным ^

y(t) = Yz(t) ӳ(t) = Yz(t). (12-157)

Подставляя (12.157) в (12.135), получим

B̅M̅Y̅ż(t)+1/δ0m0*Yz(t) = 1/m0B̅P(t)

Для_ симметрии^умножим обе части системы (12.158) на (М̅У̅)Г = У̅ТМ̅T = У̅ТМ̅.

Тогда

У̅ТМ̅. B̅M̅Y̅ż(t)+ 1/δ0m0*Yz(t) У̅ТМ̅. ż(t) = 1/m0 У̅ТМ̅. B̅P̅(t)

(12.159)

В соответствии с (12.139)

B̅M̅Y̅1 = λ1Y1, B̅M̅Y̅2= λ2Y2 или

B̅M̅Y̅ = [Y1 Y2][λ1 0] = Y̅Δ, 12.160 где

[0 λ2]

Δ = [λ1 0]

[0 λ2]

Подставляя (12.160) в (12.159) и используя соотношение (12.156),

получим

Δz..(t)+1/ δ0m0*z(t) = 1/m0* У̅ТМ̅. B̅P̅(t)

Матрица Δ является диагональной, следовательно, система дифференциальных уравнений (12.161) содержит два независимых дифференциальных уравнения. Таким образом, задача об исследовании системы с двумя степенями свободы свелась к исследованию двух систем с одной сте­пенью свободы.