14. Матрица жесткости системы и её структура

Пусть задана какая-либо стержневая система

Все узлы будем считать жесткими, т.е. с каждым из них связано по 3 возможных перемещения. Матрицу жесткости для всего сооружения покажем в блочном виде, с размерами блоков 3x3, т.к. с каждым узлом связано по 3 возможных перемещения (горизонтальное, вертикальное и поворот узла).

здесь r₁₂ - первый индекс указывает номер узла, в котором возникает блок реакций, а второй - номер узла, смещением которого эти реакции вызваны. Нулевые блоки обозначают, что соответствующие узлы не связаны непосредственно стержнем и прямо не взаимодействуют, т.е. не передают реакции с узла в узел.

Общая матрица жесткости [r] получается путем суммирования соответствующих блоков матриц жесткости отдельных стержней.

Например, первая строка блочной матрицы [r] получена путем суммирования блоков матриц жесткости отдельных элементов

r₁₁ = r₁₁¹+r₁₁², r₁₂ = r₁₂¹, r₁₄ = r₁₄³ и т.д.

15.Порядок расчета стержневых систем методом конечных элементов

Порядок расчета сооружений МКЭ можно разбить на три основные этапа: подготовительный, вычислительный и обработку результатов.

1. Подготовительный этап включает в себя: изображение расчетной схемы рассматриваемого сооружения, разбиение расчетной схемы на отдельные элементы, нумерацию узлов и элементов, выбор обшей системы осей координат. Затем составляются исходные матрицы: матрицы жесткости отдельных элементов в местной системе осей координат [r]_j` и матрицы направляющих косинусов [c]_j ; формируют вектор внешних нагрузок {Р}. предварительно преобразовав вне узловую нагрузку к узловой.

Вычислительная часть расчета включает в себя: вначале вычисляют матрицы жесткости отдельных элементов в общей системе осей координат

[r]_j=[c]_j^T[r]_j`[c]_j

затем, из блоков этих матриц формируют матрицу жесткости [r] для сооружения в целом. По формуле

{Z} = [r]^-'{P}

вычисляют вектор перемещений узловых точек сооружения в общей системе осей координат.

Вектор узловых усилий для отдельных КЭ в общей системе осей координат

{S}_j =[r]_j {Z}_j

и в местной системе осей координат

{S}_j' = [c]_j {S}_j.

Результирующие усилия в узлах отдельных КЭ в местной системе осей координат, с учетом преобразований вне узловой нагрузки

{S}_j`=[c]_j {S}_j+{S} _j⁰

Обработка результатов. Полученные усилия {S}j прикладывают к узлам отдельных элементов и по ним строят результирующие эпюры М. Q. N.

17. Виды динамических воздействий. Понятие о степени свободы.

Задачей динамики является определение напряженно-динамического состояния во времени. Иногда временная координата не вводится и учет динамики производится путем введения динамического коэффициента, на который умножают деформационно-силовые факторы, полученные из статического расчета(такая постановка называется квазистатической). В динамике также необходимо учитывать силы сопротивления. Нагрузки: периодические изменяющиеся по гармоническому закону(может возникнуть от работы машины с неуравновешенно вращающимися массами),периодической изменяющейся в течении одного периода по сложному закону(машины с поступательно вращательным механизмом), непериодические(нагрузка от взрыва, от землетрясения или подъемного взрыва).

Важным понятием является число параметров полностью определяющих положение всех точек системы. Эти параметры носят название степеней свободы(СС).

Система с сосредоточенными массами (учитываем силы инерции только от сосредоточенных масс, число СС зависит от точности расчета).

Рис А учитывается сила инерции поворота-2 СС: у и ф

Число СС удобно определять как число связей, которое надо наложить на систему чтобы её массы находились в покое.

Система с точечными массами

число степеней свободы=числу масс

пренебрежем деформациями от продольных сил на рис Б число степеней свободы меньше числа масс

Если в системе нельзя пренебречь инерцией образуется бесконечно большое число СС. Для решения необходимы дифференциальные уравнения в частных производных. Т.к силы инерции зависят от координаты и времени. Данные системы приводятся к системам с конечным числом СС путем дискретизации. Простейший способ дискретизации метод сосредоточения масс. Возьмем балку постоянного сечения разделим её на 4 части, сосредоточим массы в трех точках( по середине и над опорами) каждая из масс собирается из половин пролетов между массами. Средняя масса собирается с четверти пролета слева и справа, массы над опорами только с четвертей пролета. Примем что массы точечные- массы над опорами отбрасываем(т.к не имеют перемещений).

возможно использование более точных моделей сосредоточив массы в 3 или в 6 точках следовательно больше степеней свободы и точнее результат, но расчеты сложнее.