12) Матрица жесткости конечных элементов

В учебном пособии [25] подробно описана процедура построения матрицы жесткости Кт для различных плоских стержневых элементов, осуществляемая по формулам:

Кт = AkAT= BTkB,(4.4)

где А - статическая матрица, устанавливающая связь между усилиями S_m в элементах системы и внешними узловыми силами Р,В-матрица деформаций, устанавливающая связь между деформациями элементов и перемещениями узлов; она может трактоваться как матрица перехода из локальной системы координат в глобальную; k - матрица внутренней жесткости системы, устанавливающая связь между деформациями и усилиями элементов конструкции.Не давая подробного вывода этих матриц, укажем лишь на то, что для каждого узла элемента в пространстве вводится по три линейных и по три угловых перемещения (линейные смещения и углы поворота). В силу этого для балочного элемента с защемленными концами матрица К_т имеет размер 12x12.В качестве исходных данных задают площадь поперечного сечения, моменты инерции относительно двух главных осей поперечного сечения и момент инерции на кручение.Задаются также значения модуля упругости Е и модуля сдвига G. Для однозначной ориентации стержневого элемента в пространстве кроме начального i-го и конечного j-го узлов задают также третий узел - k-ый, определяющий плоскость ijk. Очевидно, точка k не должна лежать на линии i-j (рис. 4.2).Узел k может быть узлом конструкции или каким-либо дополнительным узлом, при условии, что описание элемента осуществляется по часовой стрелке: i→j→k; тогда эпюры моментов будут откладываться со стороны растянутых волокон. Моменты инерции J₁, J₂, J₃ - есть момент инерции на кручение и моменты инерции относительно осей 2 и 3.

 

12)Матрица жесткости конечного элемента

 Рассмотрим произвольный конечный элемент с числом степеней свободы n_ст.

Вектором узловых перемещений конечного элемента называется вектор, складывающийся из значений перемещений его узлов по направлению всех его степеней свободы. Очевидно, размерность вектора узловых перемещений равна числу степеней свободы элемента n_ст.

Рис.9.19

 

Например, для двухузлового элемента, имеющего в конечно-элементной схеме номер 7, характеризующегося тремя степенями свободы (рис.9.19), вектор узловых перемещений будет иметь следующий вид:  .

Здесь введены следующие обозначения:  - перемещение узла k по направлению j,  -вектор узловых перемещений узла е. Понятно, что если узел k шарнирный, то j может быть равно 1 или 2. Если же узел k жесткий, то jможет быть равно 1, 2 или 3.

Аналогично вводится вектор узловых усилий, действующих на элемент. Его компонентами являются усилия, приложенные к элементу в узлах и действующие по направлению всех его степеней свободы. Для приведенного на рис.9.19 элемента этот вектор будет иметь вид (рис.9.20):  .

Рис.9.20

 

Здесь вводятся обозначения:   - усилие, действующее на узел k элемента е по направлению j,  - вектор узловых сил, действующих на элемент е.

Вектора R^(e) и U^(e) являются блочными, т.е. в них можно выделить блоки   и   соответственно, содержащие усилия и перемещения, относящиеся к i-ому узлу элемента.

Если узел i - жесткий, то  , если шарнирный, то  . Аналогично выглядят и блоки вектора R^(e).

Например, для рассматриваемого элемента (рис.9.19 и рис.9.20):

                 ,             .

Понятно, что при деформировании элемента в результате смещения одного из его узлов по направлению одной из степеней свободы на узлы элемента должны действовать внешние силы, препятствующие возвращению элемента в недеформируемое состояние. Подобная ситуация может возникнуть, например, при неравномерных осадках в опорах статически неопределимой стержневой системы (рис.9.21), реакции, возникшие в опорах, препятствуют возвращению конструкции в недеформированное состояние.

Рис.9.21

 

В рамках гипотезы линейного деформирования связь между перемещениями узлов элемента и силами, действующими при этом на него, должна быть линейной. Например, с увеличением смещения d вдвое, все усилия, действующие на узлы элемента также должны увеличиться вдвое.

Основной характеристикой конечного элемента является матрица жесткости элемента  . Она связывает вектор узловых перемещений  и вектор приложенных к элементу узловых усилий   соотношением:

,                                                                                                            (9.4)

выражающим линейный характер связи между действующими на узлы силами и узловыми перемещениями. Матрица жесткости элемента играет роль, аналогичную коэффициенту жесткости пружины К, связывающего приложенное к ней усилие R, и вызванное этим усилием перемещение U соотношением (рис.9.22)  .

Рис.9.22

 

Поскольку вектора  и   имеют размерность  , число строк и столбцов в матрице  тоже должно быть равным  :

.

Введем обозначение  - усилие, действующее на узел m элемента e по направлению i, от единичного перемещения узла k этого же элемента е по направлению j при условии, что перемещения по направлению всех остальных степеней свободы в элементе равны нулю. Например,   - усилие, действующее на  узел 1 элемента 5 по направлению 1 при единичном перемещении узла 2 этого же элемента 5 по направлению 3, а   - усилие, действующее на узел 1 элемента 3 по направлению 1 от единичного смещения этого же узла по этому же направлению. Последнее значение, как и любое значение   в соответствии с теоремой Клапейрона всегда положительно, аналогично коэффициентам   в уравнениях классического метода перемещений.

Важно четко помнить порядок индексов, стоящих при k. Верхний индекс - это номер элемента. Первые два нижних индекса - направления, причем первый из них - номер направления определяемого усилия, а второй - номер направления, в котором произошло единичное перемещение. Вторые два нижних индекса - номера узлов элемента, причем первый из них - номер узла, в котором определяется усилие, второй - в котором задано единичное перемещение.

Для рассматриваемого элемента (рис.9.19 и рис.9.20) матрица жесткости элемента имеет следующий вид:

                  .

Легко увидеть, что каждый столбец этой матрицы состоит из усилий, действующих на узлы элемента при единичном смещении по направлению какой-либо из его степеней свободы при условии, что перемещения по направлению остальных степеней свободы равны нулю.