8. Общая характеристика различных методов дискретизации.

В основе почти всех современных численных методов лежит аппроксимация дифференциальных и интегральных уравнений, а также граничных условий конечным числом (т. е. системой) алгебраических уравнений относительно дискретных неизвестных – обычно это значения искомой функции в дискретных точках. Такое сведение континуальной задачи к дискретной равносильно замене сплошной конструкции с бесконечным числом степеней свободы на приближенную дискретную модель с конечным числом степеней свободы.

Оценивая тот или иной численный метод, основное внимание необходимо уделять таким качествам, как универсальность, точность аппроксимации, простота алгоритма, объем вычислений и т. п. Для проведения практических расчетов нужно выбирать достаточно надежные методы, обладающие хорошей сходимостью и опробованные на большом количестве разнообразных задач. Этим требованиям отвечают метод конечных разностей (МКР), вариационно-разностный метод (ВРМ), метод конечных элементов (МКЭ). Причем в рамках каждого из этих методов разработано множество направлений и модификаций, оправдывающих себя при решении различных классов задач.

В настоящее время в линейной механике твердого тела метод конечных элементов наиболее распространен, в то время как применение метода граничных элементов для решения данных задач находится на втором месте. Для нелинейных задач метод конечных элементов является наиболее эффективным и доминирующим.

Классический метод конечных разностей почти полностью потерял свое значение при решении практических задач механики твердого тела. Это утверждение, однако, неверно для механики жидкости и газов, где разностные методы до сих пор широко распространены. Метод конечных объемов, основанный на законах сохранения, применяется для решения сильно нелинейных задач механики жидкости и газов. Спектральные методы используются в различных областях механики и основаны на пространственно-временном преобразовании в область, где задача может быть легко решена. Метод свободных сеток – один из новых методов вычислительной математики и основан на конечно-разностном подходе с использованием независимых сеток, полученных в результате применения конечно-элементных технологий.

9. Основы метода конечных элементов. Метод конечных элементов — численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих для решения задач механики деформируемого твёрдого тела При использовании МКЭ конструкция разбивается на множество элементов простой геом. Формы соединенные между собой узловыми точками. Для этих элементов аналитическими методами получают точные или приближенные решения уравнений описывающих их напряженно-деформируемое состояние. На основе этих решений составляют уравнение описывающее НДС всей системы в целом.Получается система алгебраическуих или деф. Уравнений, для их решения применяют вычислительную технику и различные специализированные программы такие как Лира и т.д

Основа физической концепции МКЭ – это разбиение математической модели конструкции на непересекающиеся компоненты (подобласти) простой геометрии, называемые конечными элементами или просто элементами для краткости. Множество элементов, на которые разбита конструкция, называется конечно-элементной сеткой. Механическое поведение каждого элемента выражается с помощью конечного числа степеней свободы или значений искомых функций во множестве узловых точек. Поведение математической модели, таким образом, аппроксимируется поведением дискретной модели, полученной путем сборки или ансамблирования всех элементов. В отличие от метода конечных разностей, конечные элементы не накладываются друг на друга в пространстве.

Атрибуты элементов 

Собственная размерность. Конечные элементы могут описываться одной, двумя или тремя пространственными координатами в зависимости от размерности задачи, для решения которой они предназначены. Соответствующее число внутренних или локальных координат называется собственной размерностью элемента.

Узловые точки. Каждый элемент описывается множеством характерных точек, называемых узловыми точками или узлами для краткости. Узлы предназначены для описания геометрии элемента и для задания физических степеней свободы (числа неизвестных функций). Элементы, имеющие только угловые узлы, называются линейными и обеспечивают линейную интерполяцию геометрии и функций. Элементы, имеющие дополнительные узлы на своих границах между угловыми точками, могут обеспечивать квадратичную или даже кубичную интерполяцию. В первом случае такие элементы называются квадратичными. Отметим также, что существуют элементы, имеющие внутренние узлы. Элементы, не имеющие внутренних узлов, относятся к так называемому серендипову семейству.

Геометрия элемента. Геометрия элемента определяется расположением узловых точек. Большинство элементов, используемых в расчетах, имеют достаточно простую геометрическую форму. Например, в одномерном случае элементы обычно представляют собой прямолинейные отрезки или сегменты кривых линий; в двумерном случае элементы имеют трехстороннюю или четырехстороннюю форму; в трехмерных задачах наиболее распространены такие геометрические фигуры, как тетраэдры, призмы и гексаэдры

Степени свободы. Степени свободы определяют физическое состояние элемента, т.е. физическое поле, которое описывает данный элемент.

Узловые силы. Система узловых сил полностью соответствует степеням свободы элемента и выражается с помощью глобального вектора узловых сил.

Свойства сечения. К свойствам сечения относятся площади и моменты инерции одномерных и двумерных конечных элементов, таких как балки, стержни, пластины. В эту группу также входит толщина пластин и оболочек. При построении конечного элемента свойства сечений считаются заданными и входят в результирующую матрицу жесткости элемента.