23) Проблема собственных значений.

Определения собственного числа, собственного и корневого векторов линейного оператора

Пусть   — линейное пространство над полем  ,   — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования   называется такой ненулевой вектор  , что для некоторого 

Собственным значением линейного преобразования   называется такое число  , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение   имеет ненулевое решение  .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный  , а соответствующий скаляр   называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования   для данного собственного числа   (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов  , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его  . По определению,

где   — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования   для данного собственного значения   называется такой ненулевой вектор  , что для некоторого натурального числа 

Если   является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть  ), то   называется высотой корневого вектора  .

Корневым подпространством линейного преобразования   для данного собственного числа   называется множество всех корневых векторов  , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его  . По определению,

где 

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

Общий случай

Подпространство   называется инвариантным подпространством линейного преобразования   ( -инвариантным подпространством), если

.

Собственные подпространства  , корневые подпространства   и подпространства   линейного оператора   являются  -инвариантными.

Собственные векторы являются корневыми (высоты 1):  ;

Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей

, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но   имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:

 если  .