10. Проверка гипотез о зависимости переменных.

Ответ:

Проверить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольким для описания зависимой переменной.

Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез.

В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике). Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости () и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.

Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости .

Для параметра b критерий проверки имеет вид:

,

где - оценка коэффициента регрессии, полученная по наблюдаемым данным;

– стандартная ошибка коэффициента регрессии.

Для линейного парного уравнения регрессии стандартная ошибка коэффициента вычисляется по формуле:

.

Для параметра a критерий проверки гипотезы о незначимом отличии его от нуля имеет вид:

,

где - оценка параметра регрессии, полученная по наблюдаемым данным;

– стандартная ошибка параметра a.

Для линейного парного уравнения регрессии:

.

Для проверки гипотезы о незначимом отличии от нуля коэффициента линейной парной корреляции в генеральной совокупности используют следующий критерий:

,

где r_yx - оценка коэффициента корреляции, полученная по наблюдаемым данным; _r – стандартная ошибка коэффициента корреляции r_yx.

Для линейного парного уравнения регрессии:

.

В парной линейной регрессии между наблюдаемыми значениями критериев существует взаимосвязь:

t_(b=0)=t_(r=0).

11. Однофакторный дисперсионный анализ.

Ответ:

Дисперсионный анализ - статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов.

В основе дисперсионного анализа лежит предположение о том, что одни переменные могут рассматриваться как причины (факторы, независимые переменные), а другие как следствия (зависимые переменные). Независимые переменные называют иногда регулируемыми факторами именно потому, что в эксперименте исследователь имеет возможность варьировать ими и анализировать получающийся результат.

Сущность дисперсионного анализа заключается в расчлене­нии общей дисперсии изучаемого признака на отдельные компо­ненты, обусловленные влиянием конкретных факторов, и про­верке гипотез о значимости влияния этих факторов на исследуе­мый признак. Сравнивая компоненты дисперсии друг с другом посредством F — критерия Фишера, можно определить, какая доля общей вариативности результативного признака обусловле­на действием регулируемых факторов.

Исходным материалом для дисперсионного анализа служат данные исследования трех и более выборок, которые могут быть как равными, так и неравными по численности, как связными, так и несвязными. По количеству выявляемых регулируемых фак­торов дисперсионный анализ может быть однофакторным (при этом изучается влияние одного фактора на результаты экспери­мента), двухфакторным (при изучении влияния двух факторов) и многофакторным (позволяет оценить не только влияние каждого из факторов в отдельности, но и их взаимодействие).

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

где - значение исследуемой переменной на i-м уровне фактора (i=1…m) с j-м порядковым номером (j=1...n)

- эффект, обусловленный влиянием i-го фактора

- случайная компонента (возмущение), вызванное влиянием неконтролируемых факторов

Основные предпосылки дисперсионного анализа

1. М( ) = 0

2. взаимно независимы

3.

4. распределено по нормальному закону

Влияние уровней фактора может быть фиксированным (модель 1) или случайным (модель 2).

Схему дисперсионного анализа представим в виде таблицы.

Компоненты	Межгрупповая	Внутригрупповая	Общая
Сумма квадратов
Число степеней свободы	m – 1	mn – m	mn – 1
Средний квадрат			-
Матожидание среднего квадрата	(м1) (м2)		-

Гипотеза Н₀ примет вид , т.е. влияние всех уровней фактора одинаково. В случае справедливости этой гипотезы .

Гипотеза Н₀ отвергается, если фактическое вычисленное значение статистики

больше критического , определенного на уровне значимости при числе степеней свободы и по таблице для распределения Фишера-Снедекора.

Если , то гипотеза Н₀ принимается.