6. Понятие и общая схема проверки статистической гипотезы.

Ответ:

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Различают простую и сложную статистические гипотезы. Простая гипотеза, в отличие от сложной, полностью определяет теоретическую функцию распределения случайной величины.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой (или основной) и обозначают. Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу Н₁, являющуюся ее логическим отрицанием. Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.

Суть проверки статистической гипотезы заключается в том, что используется специально составленная выборочная характеристика (статистика) ( x₁, x₂, ..., x_n), полученная по выборке x₁, x₂, ..., x_n, точное или приближенное распределение которой известно. Затем по этому выборочному распределению определяется критическое значение θ_кр — такое, что если гипотеза Н₀верна, то вероятность мала; так что в соответствии с принципом практической уверенности в условиях данного исследования событие можно (с некоторым риском) считать практически невозможным. Поэтому, если в данном конкретном случае обнаруживается отклонение , то гипотеза Н₀ отвергается, в то время как появление значения считается совместимым с гипотезой Н₀, которая тогда принимается (точнее, не отвергается). Правило, по которому гипотеза Н₀

отвергается или принимается, называется статистическим критерием или статистическим тестом.

Таким образом, множество возможных значений статистики критерия (критической статистики) разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область (область отклонения гипотезы) W и область допустимых значений (область принятия гипотезы) . Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия попадает в критическую область W, то

гипотезу Н₀отвергают.

В описанной выше схеме проверка гипотез основывается на предположении об известном законе распределения генеральной совокупности, из которого следует определенное распределение

критерия. Критерии проверки таких гипотез называются параметрическими. Если закон распределения генеральной совокупности неизвестен, то соответствующие критерии получили

название непараметрических. Естественно, что непараметрические критерии обладают значительно меньшей мощностью, чем параметрические. Это означает, что для сохранения той же мощности

при использовании непараметрического критерия по сравнению с параметрическим нужно иметь значительно больший объем наблюдений.

7. Проверка гипотез о равенстве средних двух совокупностей.

Ответ:

Сравнение средних двух совокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречается случай, когда средний результат одной серии экспериментов отличается от среднего результата другой серии. При этом возникает вопрос, можно ли объяснять обнаруженное расхождение средних неизбежными случайными ошибками эксперимента или оно вызвано некоторыми закономерностями. В промышленности задача сравнения средних часто возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при различных технологических режимах, в финансовом анализе — при сопоставлении уровня доходности различных активов и т.д.

Сформулируем задачу. Пусть имеются две совокупности, характеризуемые генеральными средними и и известными дисперсиями и . Необходимо проверить гипотезу Н₀ равенстве генеральных средних, т.е. Н₀: = . Для проверки гипотезы Н₀из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемов n₁ и n₂, по которым найдены средние арифметические и и выборочные дисперсии и .