17) Вывести уравнение прямой на плоскости проход. Через 2 заданные точки.

Прежде чем получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости, вспомним некоторые факты.

Одна из аксиом геометрии гласит, что через две несовпадающие точки на плоскости можно провести единственную прямую. Другими словами, задав две точки на плоскости, мы однозначно определяем прямую линию, которая через эти две точки проходит (при необходимости обращайтесь к разделу способы задания прямой на плоскости).

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. В этой системе координат любой прямой линии соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. С этой же прямой неразрывно связан направляющий вектор прямой. Этих знаний вполне достаточно, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Сформулируем условие задачи: составить уравнение прямой a, которая в прямоугольной декартовой системе координат Oxy проходит через две несовпадающие точки   и  .

Покажем самое простое и универсальное решение этой задачи.

Нам известно, что каноническое уравнение прямой на плоскости вида   задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку   и имеющую направляющий вектор  .

Напишем каноническое уравнение прямой a, проходящей через две заданные точки  и  .

Очевидно, направляющим вектором прямой a, которая проходит через точки М₁ и М₂, является вектор  , он имеет координаты   (при необходимости смотрите статьювычисление координат вектора по координатам точек его конца и начала). Таким образом, мы имеем все необходимые данные, чтобы написать каноническое уравнение прямой a – координаты ее направляющего вектора   и координаты лежащей на ней точки   (и  ). Оно имеет вид   (или  ).

Также мы можем записать параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки   и  . Они имеют вид   или  .

18) Вывести условия перпендикулярности 2-ух прямых , когда прямые заданы общими уравнениями, и случай когда прямые заданы уравнением с угловым коэф.

В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

К(1)=-1/К(2)

Это условие может быть записано также в виде

К(1)*К(2) = -1.

Если уравнения прямых заданы в общем виде , то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

А(1)*А(2)+В(1)*В2)=0

19)Вывести условия перпендикулярности 2-ух прямых.

 Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     (10)

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1.     (11)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.     (12)

20) Написать форму нахождения угла между прямыми.( знать формулы расстояния от точки до прямой ).

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле: