Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat_an_dkr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

222.9 Кб

Скачать

☆

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ».

ЗАДАЧА 1.

1. Построить кривую в полярной системе координат:

1.1	r = 2 cosϕ . 1.2 r = 2sinϕ .	1.3 r = 2 cosϕ +sinϕ .	1.4	r = 2 cosϕ −sinϕ
1.5	r = 2sinϕ −cosϕ . 1.6 r =	cosϕ . 1.7 r = sin ϕ .	1.8	r = cos2 ϕ

1.9r = sin 2 ϕ . 1.10 r = 2(1 +cosϕ) . 1.11 r = 2(1 −cosϕ) . 1.12 r = 2(1 +sinϕ)

1.13r = 2(1−sinϕ) . 1.14 r = 2(2 −cosϕ) . 1.15 r = 2(2 +cosϕ)

1.16	r = 2(2 −sinϕ) .					1.17 r = 2(2 +sinϕ) .					1.18 r = cos 2ϕ . 1.19 r = sin 2ϕ
1.20	r = sin 3ϕ .			1.21		r = cos3ϕ .			1.22 r =		2(1+cos 2ϕ) . 1.23 r = 2(1 −cos 2ϕ)
1.24	r = sin 4ϕ .			1.25		r = cos 4ϕ .			1.26 r = (2 +cosϕ) . 1.27 r = (2 +sinϕ)
1.28	r =		1		. 1.29 r =			1		. 1.30	r =		1
		2	+cosϕ				2	−cosϕ				2	−sinϕ

ЗАДАЧА 2.

2. Найти интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума и схематично построить ее график:

2.1 y = x −33

x2 .

2.2

y = x −2 −33

(x −2)2

. 2.3

y = x −1 −33 (x −1)2

2.4

y = x +1 −33

(x +

2.5

y = x +2 +33 (x +2)

2.6

y =

−

+3x

2.7

y =

−

+8x .

2.8

+3x . 2.9

y =

+3x

+8x

2.10

y =

−4x .

2.11 y

x +1

2.12

y =

x + 2

2.13

y =

2 + 2x +2

x2 +4x

x −1

x −2

y =

2.14

y =

2.15

2.16

2.17

y =

2x −3 x

−2x + 2

−4x +5

x2 +1

2.18

y = 2x +2 −33

(x +1)2 .

2.19

y = 2x + 4 −33

(x + 2)2

2.20

y = 2x −2 −33

(x −1)2

2.21 y = 2x −4 −33

(x −2)2 .

2.22

y = 3 (x2 −6x +8)2

2.23

y = 3

(x2

−4x +3)2

2.24

y = 3

(x2 +6x +8)2

2.25

y = 3

(x2

+ 4x +3)2

2.26

y = 3 (x2 −1)2

2.27

y =

−4x2

+12 .

2.28

y =

+ 4x2 +12x .

2.29

y =

−9x .

2.30 y = x3 −3x

ЗАДАЧА 3.

3.Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке:

[0;π].

3.1 y = x −sin 2x

[0;π].

3.2

y = x +sin 2x [0;π].

3.3 y = x +cos 2x

3.4

y = x −cos 2x

[0;π].

3.5

y = xe−x

[0;2].

3.6

y = xex

[−2;0].

y =

[0;2]. 3.8

y =

[−2;0].

y = tgx −

3.7

3.9

3.10

y = ex sin x [0;π].

3.11

y = ex cos x

[0;π].

3.12

y = e−x sin x

[0;π].

y = e−x cos x [0;π].

3.14 y =

ln x

[1;e2 ]. 3.15

y = xe−

[0;2].

3.13

y = xe

[−2;0].

y = xe−

[0;2]. 3.18

y = xe−

[−2;0].

3.16

3.17

3.19	y = tgx −2x			π			3.20	y = x −sin 2x			π	.	3.21	y = x +sin 2x			π
		−		3	;0 .				0;									2	;π .
											2
	y = x +cos 2x				π			y = x −cos 2x	π		;π			y = xe	−	x
3.22							3.23						3.24
			0;		2	.				0		.			3 [0;4].

3.25

y =

−2x2

[0;2]. 3.26 y =

−3x2 +8x [0;3].

3.27 y =

+2x2

+3x [−2;0].

y =

+3x

+8x

[−3;0]. 3.29 y = e

cos x

3.30 y = e

−x

sin x

3.28

ЗАДАЧА 4.

4.1.Периметр прямоугольника равен Р. При каких размерах сторон его площадь будет наибольшей.

4.2.Площадь прямоугольника равна S. При каких размерах сторон его периметр будет наименьшим.

4.3.Участок имеет форму прямоугольника, с трех сторон он огорожен забором. Длина забора равна P. При каких размерах сторон площадь участка будет наибольшая.

4.4.Участок имеет форму прямоугольника, с трех сторон он огорожен забором. Площадь участка равна S. При каких размерах сторон длина забора будет наименьшей.

4.5.Сосуд имеет форму цилиндра без верхней крышки. Объем сосуда равен V. При каких размерах площадь его полной поверхности будет наименьшей.

4.6.Цистерна имеет форму цилиндра объема V. При каких размерах полная поверхность будет наименьшей.

4.7.Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Объем сосуда равен V. При каких размерах площадь полной поверхности будет наименьшей.

4.8.Площадь кругового сектора равна S. При каких размерах его периметр будет наименьшим.

4.9.Периметр кругового сектора равен P. При каких размерах его площадь будет наименьшей.

4.10.Равнобедренный треугольник описан около прямоугольника с основанием a и высотой h. Основание треугольника совпадает с основанием прямоугольника. При каких размерах треугольника его площадь будет наименьшей.

4.11.Прямоугольник вписан в равнобедренный треугольник с основанием a и высотой h. Основание прямоугольника совпадает с основанием треугольника. При каких размерах прямоугольника его площадь будет наибольшей.

4.12.В круг вписан прямоугольник. Радиус круга равен R. При каких размерах прямоугольника его площадь будет наибольшей.

4.13.Конус около цилиндра радиуса R и высотой h. Основание конуса совпадает с основанием цилиндра. При каких размерах конуса его объем будет наименьшим.

4.14.В конус радиуса R и высоты h вписан цилиндр. Основание цилиндра совпадает с основанием конуса. При каких размерах цилиндра его объем будет наибольшим.

4.15.Прямоугольный параллелепипед имеет объем V и квадратное основание. При каких размерах его полная поверхность будет наименьшей.

4.16.В основании прямоугольной призмы лежит равносторонний треугольник, объем призмы равен V. При каких размерах площадь полной поверхности будет наименьшей.

4.17.Сумма катета и гипотенузы прямоугольного треугольника равна P. При каких размерах площадь треугольника будет наибольшей.

4.18.В круг радиуса R вписан прямоугольный треугольник. При каких размерах площадь треугольника будет наибольшей.

4.19.Периметр равнобедренного треугольника равен P. При каких размерах сторон его площадь будет наибольшей.

4.20.Периметр прямоугольного треугольника равен P. При каких размерах сторон его площадь будет наибольшей.

4.21.Какой круговой сектор нужно вырезать из круга радиуса R, чтобы свернув его получить конус наибольшего объема.

4.22.Сумма двух положительных чисел X и Y равна 18. Какие должны быть числа, чтобы величина x2 y была наибольшей.

4.23.Сумма двух положительных чисел X и Y равна 20. Какие должны быть числа, чтобы величина x3 y

была наибольшей.

4.24.В полусферу радиуса R вписан цилиндр. Основание цилиндра совпадает с основанием полусферы. При каких размерах цилиндра его объем будет наибольшим.

4.25.В полукруг радиуса R вписан прямоугольник. Основание прямоугольника совпадает с основанием полукруга. При каких размерах прямоугольника его площадь будет наибольшей.

4.26.Произведение двух положительных чисел X и Y равно 16. При каких значениях X и Y их сумма будет наименьшей.

4.27.Для двух положительных чисел X и Y известно x2 + y2 = 25 . При каких значениях X и Y их произведение будет наибольшим.

4.28.Для двух положительных чисел X и Y известно x2 + y2 = 25 . При каких значениях x2 y будет наибольшим.

4.29.Для двух положительных чисел X и Y известно x + y = 30 . При каких значениях x2 y3 будет наибольшим.

4.30.Для двух положительных чисел X и Y известно x + y = 30 . При каких значениях X и Y значение xy4 будет наибольшим.

ЗАДАЧА 5.

Задачи 5.1-5.15.

L 1 X

L 2

Тело движется из точки А в точку С по ломанной АВС. Скорость движения в области I равна V1 , в области

II равна V2 . Найти значение X, при котором время затраченное на весь путь будет наименьшим. Величину Х найти с точностью до 0.01 L.

5.1	V1 = 5,V2		= 3, L1	= 20, L2	=10, H = 20.	5.2. V1 = 4,V2	= 3, L1	= 30, L2	= 20, H =10.
5.3	V1	= 4,V2	= 2, L1	=10, L2	= 20, Н =15.	5.4 V1 = 5,V2	= 2, L1	= 20, L2	= 30, Н = 20.
5.5	V1	= 2,V2	=1, L1	= 30, L2	= 20, Н =15.	5.6 V1 = 3,V2	=1, L1 = 30, L2 = 20, Н = 20.
5.7	V1	= 3,V2	= 2, L1	= 20, L2	= 30, Н = 25.	5.8 V1 = 2,V2	= 3, L1	= 20, L2	= 30, Н = 20.
5.9	V1	=1,V2	= 3, L1	= 30, L2	= 20, Н = 20.	5.10 V1 =1,V2	= 2, L1	= 30, L2	= 20, Н =15.

5.11 V1	= 3,V2		= 4, L1	= 40, L2	= 30, Н = 20.	5.12 V1	= 3,V2	= 5, L1 = 30, L2	= 50, Н = 20.
5.13 V1	= 4,V2		= 5, L1	=10, L2	=10, Н =10.	5.14 V1	= 3,V2	=1, L1 = 20, L2	= 20, Н = 20.
5.15. V1 = 2,V2			=1, L1	=10, L2	=10, Н = 20.
Задачи 5.16-3.30
		A		B
				B

		H1		H 2
		H1		H 2
			x

ϕd

В точках A и B на высотах H1 и H 2 соответственно находятся источники света мощностью I1 и I2 соответственно. Найти точку Х, в которой освещенность будет наибольшая. Х вычислить с точностью до

0.01 d. Освещенность в точке от источника равна E = rI2 cosϕ .

5.16. I1 = 2; I2 =1; d =1; H1 = 2; H 2 = 3 . 5.17. I1 = 2; I2 =1; d =1; H1 = 3; H 2 = 2 .

5.18. I1 = 3; I2 =1; d =1; H1 = 2; H 2 = 3 . 5.20. I1 = 3; I2 = 2; d =1; H1 = 2; H 2 = 3 . 5.22. I1 = 2; I2 = 2; d =1; H1 = 3; H 2 = 2 . 5.24. I1 = 4; I2 =1; d =1; H1 = 2; H 2 = 4 . 5.26. I1 = 4; I2 = 3; d =1; H1 = 2; H 2 = 4 . 5.28. I1 = 4; I2 = 3; d =1; H1 = 4; H 2 = 3 . 5.30. I1 = 4; I2 =1; d =1; H1 = 4; H 2 = 2 .

5.19.I1 = 3; I2 =1; d =1; H1 = 2; H 2 = 3 .

5.21.I1 = 3; I2 = 2; d =1; H1 = 3; H 2 = 2 .

5.23.I1 = 4; I2 =1; d =1; H1 = 4; H 2 = 2 .

5.25.I1 = 4; I2 = 3; d =1; H1 = 4; H 2 = 2 .

5.27.I1 =1; I2 =1; d =1; H1 = 4; H 2 = 2 .

5.29.I1 = 4; I2 = 3; d =1; H1 = 3; H 2 = 4 .

ЗАДАЧА 6.

6. С помощью асимптот построить график функции:

6.1 y =

−5x +6

6.2

y =

−5x +6

6.3

y =

x2 −6x +8 .

6.4

y =

x2 −6x +10 .

x −1

x −4

6.5

y =

−6x +8

6.6

y =

−6x +8

6.7

y =

x2 −6x +8

6.8

y =

x2 +6x +8 .

x −1

x −5

x −3

6.9

y = x2 +6x +10 .

6.10

y =

+6x +8

6.11 y =

+6x +8

6.12

y =

x2 +6x +8

x +5

x +3

x +1

6.13

y =

+8x +15 .

6.14

y =

x2 +8x +17 .

6.15 y =

x2 −8x +15 .

6.16

y =

−8x +17 .

6.17

y =

x2 −8x +15

. 6.18 y =

x2 +8x +15

6.19 y =

+8x +15

x −1

x +1

x −6

6.20

y =

x2 +8x +15

6.21 y =

−8x +15

6.22 y =

+8x +15

6.23 y =

−8x +12 .

x +4

x +6

x −4

6.24

y =

+8x +12 .

6.25

y =

x2 −8x + 20

6.26 y =

x2 +8x + 20

6.27.

y =

x2 −8x +12

x −2

6.28

y =

−4x +5

6.29.

y =

−4x +5

6.30

y =

x2 + 4x +5

x −2

x + 2

ЗАДАЧА 7.

7. Провести полное исследование и построить график функций

7.1А)

7.2А)

7.3А)

7.4А)

7.5А)

7.6А)

7.7А)

7.8А)

y =

y = xe−

; В)

y = e

2 sin x .

;

Б)

−

y =

y = e−

2 sin x .

;

Б)

y = xe

; В)

−

y =

y = e 2 cos x .

;

Б)

y = e

; В)

−

y =

y = e−

;

y = e−

2 cos x .

;

Б)

В)

−

y =

;

Б)

y = xe−x ; В)

y = ln cos x .

− x2

y =

;

Б)

y = xex ; В)

y = ln sin x .

− x2

y =

;

Б)

y = xe−2 x ;

В)

y = arctg sin x .

− x2

y =

;

Б)

y = xe2 x ;

В)

y = arctg cos x .

16 − x2

7.9А) y = lnxx ; Б) y = xe−x2 ; В) y = cos x .

7.10А) y = ln x ; Б) y = x2 e−x2 ; В) y = sin x .

7.11

А)

y = x ln x ;

Б)

y =

;

В)

y = ln sin 2 x .

e−x

7.12

А)

y =

ln x

; Б)

y =

;

В)

y = ln cos2 x .

7.13

А)

y = ln(1 + x2 ) ; Б) y = x2 ex ;

В)

y = (1 −cos x) cos x .

7.14

А)

y = xarctgx ;

Б)

y =

xex ;

В)

y = (1 −cos x)sin x .

7.15А)

7.16А)

7.17А)

7.18А)

7.19А)

7.20А)

7.21А)

7.22А)

7.23А)

7.24А)

−

y = x2 ln x ;

Б)

y = e

;

В)

y = (2 −cos x) cos x .

ln x

y =e 2 sin 2 x .

y =

;

Б)

y = xe

;

В)

y = x2 ln x2 ;

y = xe

−

В) y = e− 2 sin 2 x .

Б)

x ;

y = x ln x2 ;

y = e− 2 cos 2 x .

Б)

y = e

;

В)

y =

ln x2

y = xe−

y = (1 +cos x) cos x .

;

Б)

;

В)

ln x2

y = (1 −sin x) cos x .

y =

;

Б)

y = xe 2 ;

В)

y = e−

y =

y = (1 +sin x) cos x .

;

Б)

;

В)

1+ x2

y =

ln(x −1)

y = xe−

y = (2 +cos x) cos x .

;

Б)

;

В)

x −1

y = x2 e

−

y = (x −1) ln(x −1) ; Б)

2 ; В) y = (2 −cos x)sin x .

y =

ln(x −1)

y = xe−

y = (2 +sin x) cos x .

;

Б)

;

В)

(x −1)2

7.25

А)

y = (x −1) ln(x −1) ;

Б) y = xe

;

В) y = (2 −sin x) cos x .

y = (x −1)2 ln(x −1) ;

7.26

А)

Б)

y = xe

;

В)

y = (2 +sin x)sin x .

y = (x −1) ln(x −1)2

y = xe

−

y = (2 −sin x)sin x .

7.27

А)

;

Б)

x ;

В)

−

7.28

А)

y =

x −1 ln(x −1)

;

Б)

y = xe

x2 ;

В)

y = cos 2x .

ln(x −1)2

−

7.29

А)

y =

;

Б)

y = xe x

;

В)

y =

sin 2x .

(x −1)2

y =

ln(x −1)2

y = xe−

y = e

2 cos 2 x .

7.30

А)

;

Б)

;

В)

x −1

ЗАДАЧА 8.

8. Количество продукции U (t) , произведенной бригадой рабочих заданно уравнением U (t) при

0 ≤ t ≤ 8 , где t рабочее время в часах. Найти: а) максимальную производительность труда;

б) вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

8.1 U (t) = −

t 3

+100t .

8.2 U (t) = −

+80t

8.3U (t) = −

t 3

+50t .

8.4 U (t) = −

t 3

+5t

+ 40t .

8.5

U (t) = −

t 3

+60t .

8.6 U (t) = −

t 3

+3t

+ 40t .

8.7 U (t) = −

+8t

+ 40t .

8.8 U (t) = −

2t 3

+8t

+30t . 8.9 U (t) = −

2t 3

+10t

+30t .

8.10

U (t) = −

2t 3

+10t

+ 20t .

8.11 U (t) = −

2t 3

+ 40t .

8.12 U (t) = −

2t 3

+60t .

8.13

U (t) = −t 3 +12t 2

+ 40t .

8.14 U (t) = −t 3 +12t 2 + 20t . 8.15 U (t) = −t 3 +15t 2

+50t .

8.16

U (t) = −t 3 +15t 2

+30t .

8.17 U (t) = −t 3 +9t 2

+60t .

8.18 U (t) = −t 3 +9t 2 +80t .

8.19

U (t) = −

t 3

+16t 2

+ 20t .

8.20 U (t) = −

t 3

+16t 2

+40t .

8.21 U (t) = −

t 3

+20t 2

+40t .

8.22

U (t) = −

t 3

+ 20t 2

+80t .

8.23 U (t) = −

t 3

+ 25t 2 +10t

8.24 U (t) = −

t 3

+ 25t 2

+ 40t .

8.25

U (t) = −

+15t

+ 200t .

8.26 U (t)

= −

+15t

+ 250t . 8.27. U (t) = −

t 3

+ 20t .

8.28

U (t) = −

t 3

+6t

8.29. U (t) = −

t 3

+ 2t

+ 40t . 8.30 U (t) = −

t 3

+60t

ЗАДАЧА 9.

q = q( p)

S( p) , где q и S количество

9 Опытным путем установлены функции спроса

и предложения

товара покупаемого (q) и предлагаемого (S) на продажу в единицу времени, p - цена товара. Найти:

а) равновесную цену;

б) эластичность спроса и предложения для этой цены;

в) изменение дохода при изменении цены на δ% от равновесной.

9.1 q( p) =

p +10

, S( p) = p +1,9 , δ =+5%.

9.2 q( p) =

p +10

, S( p) = p +1,9 , δ =(−5%).

p +3

9.3 q( p) =

p +10

, S( p) = p +0, 25 , δ =+4%.

9.4 q( p) =

p +10

, S( p) = p +0, 25 , δ =(−4%).

p +1

9.5 q( p) =

p +10

, S( p) = p +2 , δ =+5%.

9.6 q( p) =

p +10

, S( p) = p +2 , δ =(−5%).

p +1

9.7 q( p) =

p +10

, S( p) = p +4,5 , δ =+4%.

9.8 q( p) =

p +10

, S( p) = p +4,5 , δ =(−4%).

p +1

9.9 q( p) =

p +9

, S( p) = p +0, 2 , δ =+5%.

9.10 q( p) =

p +9

, S( p) = p +0, 2 , δ =(−5%).

p +3

9.11

q( p) =

p +9

, S( p) = p +1,5 , δ =+4%.

9.12 q( p) =

p +9

, S( p) = p +1,5 , δ =(−4%).

p +3

9.13

q( p) =

p +15

, S( p) = p +0,6 , δ =+5%.

9.14 q( p) =

p +15

, S( p) = p +0,6 , δ =(−5%).

p +2

9.15 q( p) =

9.17 q( p) =

p +15 , S( p) = p + p +2

p +14 , S( p) = p + p +2


2, 25 , δ =+4%. 9.16 q( p) =		p +15		, S( p) = p +2, 25 , δ =(−4%).
		p +2

4 , δ =+5%. 9.18 q( p) =	p +14		, S( p) = p +4 , δ		=(−5%).

	p +2

9.19q( p) = pp++202 , S( p) = p +1, 6 , δ =+4%. 9.20 q( p) = pp++202 , S( p) = p +1, 6 , δ =(−4%).

9.21q( p) = pp++182 , S( p) = p +3 , δ =+5%. 9.22 q( p) = pp++182 , S( p) = p +3 , δ =(−5%).

9.23q( p) = pp++136 , S( p) = p +1 , δ =+4%. 9.24 q( p) = pp++136 , S( p) = p +1 , δ =(−4%).

9.25q( p) = pp++211 , S( p) = p +1 , δ =+5%. 9.26 q( p) = pp++211 , S( p) = p +1 , δ =(−5%).

9.27q( p) = pp++142 , S( p) = p +1 , δ =+4%. 9.28 q( p) = pp++142 , S( p) = p +1 , δ =(−4%).

9.29 q( p) = pp++183 , S( p) = p +2 , δ =+5%. 9.30 q( p) =

p +18 , S( p) = p +2 , δ =(−5%). p +3

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.04.2015301.06 Кб21lr-III.doc
#
29.08.2019122.88 Кб1M4.doc
#
09.04.20154.41 Mб13Marafon_Teoria_i_praktika.pdf
#
22.09.2019189.56 Кб4materialy_dlya_podgotovki_k_ekzamenu.docx
#
14.11.2018380.93 Кб46matkrov1.doc
#
09.04.2015222.9 Кб26mat_an_dkr.pdf
#
09.04.2015671.85 Кб222Measurements.pdf
#
12.11.201870.14 Кб1MED_OHP.DOC
#
06.11.20182.89 Mб9MetFiz1.doc
#
06.11.20181.01 Mб6MetHist1.doc
#
06.11.20181.03 Mб6MetHist2.doc