1. Алгебраические системы, алгебры, классы алгебр и формальные модели.

Алгебраич. система – формальная конструкция, которая представима парой: множ-во эл-ов и сигнатура.

Сигнатура - множ-во отношений, которыми связаны эл-ты дан. множ-ва. Отношений состоят из просто отношений (бинарные, n-арные) и алгебраических операций.

Просто отнош-ия опис-ют какие эл-ты связ-ны и в каком порядке.

Алгебраич. опер. – особый вид отнош-ия которое указ-ет не только эл-ты, вход-ие в состав кортежа, порядок их след-ия, но и указ-ет как из одних эл-ов получать др. Алгебраич. системы: А_S=<x, Ω>, x – носитель, Ω – сигнатура, Ω={{От_i}, {Оп_i}}. Если отношения м/у эл-ми заданы только операц-ми, алгебраич. система наз-ся алгеброй. A=<x, {Оп_i}>. Простейшая алгебра связ-ет эл-ты множ-ва только одной опер-ей. Ak=<x, φ>. Если отнош-ия представлены просто отнош-ми (в частн. бинарными), то такая алгебраич. система наз-ся формальной моделью. M=<x, {От_i}>. Среди простейших отнош-ий выделяют бинарное отнош-ие. Отнош-ие эквив-ти: M=<x, {=, ≠}>.

2. Алгебраические оп-ии и осн св-ва

Алгебра- мн-ва, в кот-х эл-ты связаны только алгебр Оп-ми. Сначала алгебр Оп-ии были введены над рационал-ми числами +-*/. Потом открыты комплексные числа, дву-мерные векторы.<a,b>. Далее определены оп-ии над векторами U,∩,/,(дополнение),(декартово умнож-е), (соот-ветствие),(композиция).С развитием матем-ки открыты Оп-ии над более сложными obj-ми.

На м-ве Х определена алгебр Оп-ия φ Если для каждой пары (картежа) этого мн-во, образованой из эл-тов этого мн-ва, поставлен в соответствие однозначно эл-т из того же м-ва Х

с помощю алгебр оп-ии эл-ты связаны в тройки, но в отличае от обычного отношения.

Аксиомы

1. для любой пары эл-тов из м-ва Х сущ-ет С такой что а φ b=c <a,b,c>-формируется тернаная оп-ия, существование третьего эл-та

2

Аксиома ассоциативности позволяет расставлять скобки так как это удобно.

3.

аксиома коммутативности позволяет выполнять данную оп-ию с одинаковым рез-ом при любом следовании операндов.

4a

взаимодействие 2х оп-ий и 3х эл-тов м-ва, сигнатура расширилась до 2х оп-ий. Дистрибутивность для распределительности справа оп-ии фи относительо оп-ии пси справо

4b

о дистрибутивности или распределительности слево оп-ии фи относительо оп-ии пси слево, обе аксиомы позволяют при выполнении алгебр-их оп-ий над мн-вами закрыть скобки

5 аксиома о существовании единичного эл-та мн-ва. Единичный эл-т с помощью фи не изменяет ничто.{a,b,c,d,..,l, а^-1}

6

аксиома о существовании противоположного для каждого данного эл-та a ~> а^-1

3. Классификация алгебр на основе одной оп-ии

Наз алгебры	Св-ва опрации		выдел элты
	Асоциативные	Комутативные	1	-а
Полу группы	да	-	-	-
Комутативн гр	да	Да	-	-
Моноид	да	-	Да	-
Абелев моноид	да	Да	Да	-
Группа	да	-	Да	Да
Абелева гр	да	Да	да	Да

Групповой код является алгеброй, т.к. мн-во кодовых слов связанно одной оп-ией и представляет собой группу.

4. классификаця алгебр на основе 2х оп-ий

Назв алгеб	+				*
	Св-ва		Эл-ты		Св-ва			Эл-ты
	асоц	комутат	0	-а		асоц	комута		“1”	а-1
Кольцо	Да	Да	да	да		-	-		-	-
Асоц кольцо	Да	Да	да	да		Да	-		-	-
Комут кольц	Да	Да	да	да		да	Да		-	-
Тело	Да	Да	да	да		Да	-		да	Да
Комут тело	Да	Да	да	да		да	да		Да	Да

Примеры: м-во натур чисел связаных сложением N-натур числа Z-целые Q-рациональные R-действительные <N,+>-комутативная абелева полугруппа.Ø единица оп-ии слодения <N U Ø, +> комутативный моноид. Если для м-ва <N U Ø, +> добавить еще отриц числа, то <-N U Ø U N, +> или <Z,+> - абелева группа. М-во <Q,{+,x}>- поле.