4.2. Виды средних величин

Правильную характеристику совокупности по варьирующему признаку может дать один определенный вид средней величины, который необходимо выбрать в соответствии с критерием определяющего свойства последней - она будет верной обобщающей характери­стикой совокупности по варьирующему признаку тогда, когда при замене всех вариантов на среднюю величину общий объем варьирующего признака останется неизменным.

В зависимости от того, как образуется объем варьирующего признака, определяется правильный вид средней величины. Средняя арифметическая применяется тогда, когда объ­ем варьирующего признака образуется как сумма отдельных вариантов, средняя гармониче- екая - как сумма обратных значений отдельных вариантов, средняя квадратическая - как сумма квадратов отдельных вариантов, средняя геометрическая - как произведение отдель­ных вариантов.

Все эти средние величины относятся к степенным средним, кроме них в статистике рассчитываются структурные средние: мода (наиболее часто встречающийся вариант) и ме­диана (серединный вариант).

Средняя арифметическая есть частное от деления суммы вариантов на их число. Обо­значив варианты, т.е. индивидуальные значения признаков, через x_it х₂, х₃, и т. д. до x_n расчет простой средней арифметической представим в виде

_х = ^xi + ^Х2 + ^хз + ... + ^xn = £х± (4.1.)

nn

Отдельные варианты могут принимать одинаковые значения. В этих случаях вычис­ляют среднюю арифметическую взвешенную:

перед суммированием умножают вариант на частоты, т.е. на числа, которые показы­вают, сколько раз этот вариант встречается в изучаемой совокупности. Такое умножение в статистике называется взвешиванием, а число единиц, имеющих одинаковые значения при­знака - весами, или частотами, с которыми эти значения признака (варианты) входят в среднюю.

Обозначив веса буквой f\, получим формулу средней арифметической взвешенной:

_x = ^Х1 ^f1 + ^Х2 ^f2- + ^Xnfn = £ ^Xi^fi (₄₂)

fi + ^f2 +... + ^fn £f ' '

Обычно среднюю арифметическую вычисляют по формуле взвешенной средней, а простую среднюю применяют только в тех случаях, когда у каждого варианта частота равна единице или частоты у всех вариантов равны.

Способ вычисления средней арифметической определяется характером исходных данных. Наиболее часто встречаются следующие приемы расчета.

Во-первых, если имеются значения варьирующего признака, полученные из наблюде­ния, суммированием определяют объем признака и делят его на количество единиц совокуп­ности.

Во-вторых, когда имеются не отдельные значения варьирующего признака, а их сум­ма, т.е. объем признака и соответствующая численность совокупности, сумму значений ва­рьирующего признака делят на количество единиц совокупности. Так рассчитывают сред­нюю часовую выработку (путем деления количества произведенной продукции на число от­работанных человеко-часов), среднюю оплату одного человека-часа (путем деления фонда зарплаты на число отработанных человеко-часов), среднюю урожайность (путем деления ва­лового сбора культуры на посевную площадь).

В-третьих, среднюю арифметическую вычисляют на основе вариационного ряда. Ва­риационные ряды бывают дискретными и интервальными. Для вычисления средней в дис­кретных рядах варианты нужно умножить на частоты и сумму произведений разделить на сумму частот. В интервальных рядах для определения средней нужно прежде всего перейти к дискретному ряду: по каждой группе вычислить среднее значение интервала, т.е. полусум­му его верхней и нижней границ. Если имеются интервалы с так называемыми открытыми границами, то для вычисления среднего значения берут величину последующего интервала (для первого) или предыдущего (для последнего). После того как найдено среднее значение интервалов, вычисления делают так же, как и в дискретном ряду: варианты умножают на ча­стоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов).

При вычислении средняя величина может принимать дробное значение даже то­гда, когда индивидуальные значения можно выразить только целым числом, например, при определении среднего тарифного разряда рабочих, среднего числа комнат в квартире в различных городах, среднего числа детей в семье по регионам и т.п. Средняя величина не выходит за границы индивидуальных значений. Она всегда располагается в интервале от ми­нимального значения до максимального и приближается к одному из них в зависимости о

т

значении частот, т.е. весов отдельных вариантов.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда неизвестны частоты отдель­ных значении признака, но известен другоИ показатель - произведение каждого значения признака на его частоту (®). Гармоническая невзвешенная вычисляется по формуле

х =

1¹

х

-_ I®

О

I

X

_ n

(4.3.)

а взвешенная - по формуле

(4.4.)

где О = xf . После всех вычислении мы придем к тому же результату, как по формуле сред­ней арифметическоИ: в числителе получим объем изучаемого признака, в знаменателе - чис­ло единиц совокупности.

Т.о., применение гармонической или арифметической зависит от характера ис­ходной информации: если имеются значения признака и соответствующие частоты, то ис­пользуется арифметическая, а если даны значения признака и произведения этих значении на соответствующие частоты, то гармоническая. В обоих случаях логический и экономический смысл вычисления среднего значения остается таким же, как при вычислении индивидуаль­ного значения показателя независимо от того, применяется форма среднеИ арифметическоИ или среднеИ гармоническоИ. Выбор формы средней величины обусловлен только харак­тером исходных данных.

Например, в январе первыИ цех предприятия произвел продукции на 600 тыс. руб. и выполнил план на 120 %, а второИ цех - на 480 тыс. руб., что составило 80 % плана. В февра­ле первыИ цех, имея план в 700 тыс. руб., выполнил его на 115 %, а второИ при плановом за­дании в 500 тыс. руб. выполнил его на 80 %.

Среднее выполнение плана за январь определяем по гармоническоИ взвешенноИ:

_ I® 600 + 480 1080

1100

О

I

x = —— = ^^ 77Т7Г = —— = 0,9818, или 98,2%.

600 480

- + -

x 1,2 0,8

В феврале рассчитываем среднее выполнение плана по арифметическоИ взвешенноИ:

_ Ixf 1,15• 700 + 0,80• 500 805 + 400 1205 , ....

X = — = = = = 1,0042,

I f 700 + 500 1200 1200

или 100,4%

При вычислении и в первом, и во втором случае числитель означает объем фактиче­ски произведенноИ продукции, а знаменатель - плановыИ объем продукции предприятия. Экономическое содержание расчетов такое же, как при вычислении индивидуальных значе­ниИ по цехам. КритериИ при выборе формы среднеИ величины будет определяться экономи­ческим и логическим содержанием выполняемого расчета, так как средняя должна вычис­ляться таким образом, как и индивидуальное значение (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Данные о работе магазина за март Секция	Число про­давцов	Товарооборот на 1 продавца, тыс. руб.	Зарплата на 1000 руб. товарооборота, руб.	Отчисления на 1000 руб. зарплаты, %
1-я	20	986,0	3,50	12,0
2-я	15	650,0	3,80	15,0
3-я	5	274,0	4,50	30,0

Рассчитаем средниИ товарооборот на одного продавца по форме среднеИ арифметиче- скоИ взвешенноИ:

• = £ ^xifi = 986,0 ■ 20 + 650,0 -15 + 274,0 ■ 5 = 19720 + 9750 +1370 = 30840 =

• = £ f ~ 20 +15 + 5 = 40 = 40 = = 771,0 тыс.руб.

В итоге вычислений в числителе получим общую сумму товарооборота по магазину - 30840 тыс. руб., а в знаменателе - общую численность продавцов. Следовательно, средний товарооборот по магазину рассчитывается так же, как и индивидуальное значение по каждой секции.

Порядок и экономический смысл вычисления среднего размера заработной платы на 1 тыс. руб. товарооборота по магазину аналогичен вычислению индивидуальных значений по секциям: фонд заработной платы делим на объем товарооборота, при этом товарооборот вы­ступает как частота.

_x = £ -ifi = 3,50 ■ (986,0 ■ 20) + 3,80 ■ (650,0 ■ 15) + 4,50 ■ (274,0 ■ 5) = 112235 = _{3 б} ^- = £ f. ~ 986,0 ■ 20 + 650,0-15 + 274,0 ■ 5 = 30840 ^РУ '

В среднем по магазину на каждую тысячу рублей товарооборота приходится 3,639 руб. заработной платы.

При вычислении среднего размера отчислений необходимо относительную величину отчислений выразить не в процентах, а в долях единицы. В этом случае отчетливо проявля­ется экономический смысл расчета средней величины: получаем сумму отчислений в рублях и делим ее на фонд заработной платы, тем самым определяя удельный вес (фонд зарплаты по секциям будет выступать частотой).

_x = £ -ifi = 0,12 ■ (3,50 ■ 986,0 ■ 20) + 0,15 ■ (3,80 ■ 650,0 ■ 15) + 0,30 ■ (4,50 ■ 274,0 ■ 5) = ^X — ^^ — —

£ f 3,50 ■ 986,0 ■ 20 + 3,80 ■ 650,0 ■ 15 + 4,50 ■ 274,0 ■ 5

15689,4

= ⁵⁶⁸^ = 0,1398 _UJIU 13,98%

112235

Поэтому, только опираясь на знание сущности усредняемого показателя, можно пра­вильно выбрать форму средней величины.

Средняя величина имеет семь свойств.

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений каждого значе­ния признака на его частоту:

* х £ f = £ xf.

Это свойство является также способом проверки правильности вычисления средней (величины).

2. Если из всех значений признака отнять какое-либо постоянное число, то средняя величина из новых значений уменьшится на это же число.

3. Если ко всем значениям признака прибавить какое-либо постоянное число, то сред­няя величина из новых значений увеличится на это же число.

4. Если все значения признака умножить на постоянное число, то средняя величина из новых значений увеличится во столько же раз.

5. Если значения признака разделить на какое-либо постоянное число, то средняя ве­личина из новых значений уменьшится во столько же раз.

6. Если частоты всех значений признака разделить или умножить на постоянное чис­ло, то средняя величина от этого не изменится. В средней гармонической можно объемы признака умножить или разделить на постоянное число, и величина средней не изменится. Следовательно, вместо абсолютных значений частот или объемов признака можно использо­вать относительные значения (в виде процентов или долей единицы), при этом не изменяется ни форма расчета, ни величина средней.

7. Сумма всех отклонений отдельных значений признака от средней величины всегда равняется нулю:

£ (x - x) х f = 0

При вычислении сумма положительных отклонений (когда индивидуальное значение больше средней величины) будет равна сумме отрицательных отклонений (когда индивиду­альное значение меньше среднего значения).

Проиллюстрировать шестое свойство можно на примере о среднем вкладе в банке (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Динамика размера вклада в региональном банке

ф ил	Январь		февраль		Март		Апрель
и ал	Средний размер вклада, млн. руб.	Число вкла­дов	Средний размер вклада, млн. руб.	Общая сумма вкладов, млн. руб.	Средний размер вклада, млн. руб.	Доля в числе вкла­дов, %	Средний размер вклада, млн. руб.	Доля в общей сумме вкладов, %
1	0,21	860	0,28	254,8	0,22	20	0,20	19
2	0,28	950	0,32	313,6	0,36	30	0,34	51
3	0,33	1020	0,36	392,4	0,35	50	0,30	30

Рассчитаем средний размер вклада в банке за каждый месяц исходя из положения, что необходимо разделить общую сумму вкладов на число вкладов вне зависимости от того, ка­кую форму средник будем применять.

За январь используем среднюю арифметическую взвешенную:

_X = £ xf = 0,21 • 860 + 0,28 • 950 + 0,33 • 1020 = 180,6 + 266,0 + 336,6 = ^X = £ f ~ 860 + 950 +1020 = 2830 =

= ^783,2 = 0,277млн. руб. 2830

За февраль, используя среднюю гармоническую, общую сумму вкладов банка также разделим на число вкладов:

_ £с 254,8 + 313,6 + 392,4 960,8 960,8 _АООО .

x = — = ^ ^——, = = = 0,322млн.руб.

£ со 254,8 + 313,6 + 392,4 910 + 980 +1090 2980

^£ x 0,28 0,32 0,36

При расчетах за март применяется средняя арифметическая взвешенная, так как абсо­лютное число вкладов переведено в удельный вес путем деления числа вкладов в филиалах на их сумму в банке и умножения на 100, т.е, частоты всех значений делят и умножают на постоянное число, но при этом ни величина, ни форма расчета не изменяются.

_ £ xf 0,22 • 20 + 0,36 • 30 + 0,35 • 50 4,4 +10,8 +17,5 32,7 .

x = ^=— = = = = 0,327млн. руб.

£ f 20 + 30 + 50 100 100

За апрель необходимо воспользоваться формулой средней гармонической, так как в этом случае в относительные величины переведены объемы признаков, т. е. суммы вкладов по филиалам.

_ £^с 19 + 51 + 30 100 100 .... .

x = —— = -тт; т_Л = = = 0,290млн. руб..

уС J^ + + 95 +150 +100 345

^£ x 0,20 0,34 0,30

Свойства средней величины необходимо использовать при любых вычислениях, что­бы уменьшить трудоемкость, а также снизить вероятность ошибки.

На свойствах средней величины основан сокращенный метод ее вычисления, который называется способом отсчета от условного нуля, или способом моментов.

Даже при расчетах на калькуляторе он позволяет значительно сократить объем вы­числительной работы, уменьшить вероятность ошибок. Применяется он только в вариацион­ных рядах с равными интервалами между отдельными значениями усредняемого признака.

Сущность метода состоит в том, что уменьшаются исходные значения признака до натурального ряда чисел. Это возможно сделать, если из всех значений, т.е. вариантов, сна­чала вычесть одно из них, а затем разделить остаток на величину интервала.

Вместо значения, которое вычитается из всех значений, получается условный ноль, от которого по одну сторону находится отрицательный натуральный ряд чисел, а по другую - положительный.

Средняя величина из сокращенных значений называется моментом первого порядка.

Чтобы получить среднюю из исходных значений, необходимо проделать обратные действия: момент первого порядка умножить на величину интервала и прибавить то значе­ние, которое вычитали:

Х - Хi + А (4.5.)

Например, необходимо рассчитать средний стаж работы для каждого цеха и в целом по предприятию способом моментов (табл. 4.з).

Таблица 4.з

Распределение рабочих предприятия по стажу работы

Показатель	Стаж работы, лет
	до 5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	свыше 30	Ито­го
Исходные данные:
Число рабочих по цеху 1	15	27	32	37	20	12	7	150
Число рабочих
по цеху 2	18	32	54	61	29	14	2	200
Расчетные данные
х	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5	х
х'	-3	-2	-1	0	1	2	3	х
х'Л	-45	-54	-32	0	20	24	21	-66
х f2	-54	-64	-54	0	29	28	6	-109

Для вычисления средней величины, прежде всего, необходимо перейти к серединам интервалов. Затем вместо исходных значений признака рассчитаем сокращенные значения х — (х - А)/i, где А = 17,5 лет, a i - величина интервала, равная 5.

Определяем моменты первого порядка для каждого цеха: для первого х' — £ х ' f / £ f — -66 /150 — -0,44, для второго

х' — £х'f / £ f — -109 / 200 — -0,545.

Рассчитаем средний стаж работы по каждому _цеху на основе момента первого порядка: для первого х — х' • i + А — -0,44 • 5 + 17,5 — 15,3 года; для второго х — х' • i + А — -0,545 • 5 + 17,5 — 14,78 года. Для двух цехов вместе рассчитываем сред­ний стаж по форме арифметической взвешенной:

х — £ xf / £ f — (15,3 • 150 +14,78 • 200) /(150 + 200) — (2295 + 2956) / 350 —5251/350 — 15,0

Таким образом, объем вычислений средней величины данным способом уменьшился в несколько раз.