Ранг квадратичной формы
Итак, всякую квадратичную форму можно методом Лагранжа можно привести к виду:
, (1)
где
отличны от нуля.
Возникает естественный вопрос: чему равно число квадратов, входящих в каноническую форму (1)? Ниже мы увидим, что на этот вопрос можно дать вполне определенный ответ.
Составим квадратную матрицу -го порядка
из коэффициентов
квадратичной формы
.
Будем называть
матрицей
формы
,
а ранг
− рангом
формы
.
Так как в квадратичной
форме
,
то матрица
не меняется при транспонировании.
Матрица
-го
порядка, остающаяся без изменения при
транспонировании, называется, как
известно, симметрической.
Покажем, что своей матрицей квадратичная форма определяется вполне однозначно.
Пусть
и
− две квадратичные формы от
,
у которых матрицы
и
равны. Тогда
(
)
и члены
и
(
),
а также
и
равны, откуда согласно определению
равенства многочленов от нескольких
неизвестных следует, что
.
Обратно, пусть
квадратичные формы
и
равны. Пользуясь снова понятием равенства
многочленов от нескольких неизвестных,
находим, что члены
и
(
),
и
должны быть равны, откуда
(
)
и
.
Нашей основной задачей, является доказательство следующей теоремы.
Теорема. От невырожденного линейного преобразования ранг формы не изменяется.
Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, введем матричный вид записи квадратичной формы и займемся некоторыми свойствами матриц -го порядка, связанными с рангом матрицы.
Обозначим через
матрицу-столбец:
,
составленную из неизвестных . Тогда квадратичная форма ( ) запишется в виде
,
где
− матрица квадратичной формы, а
− транспонированная матрица
,
т.е.
.
В самом деле, по правилу перемножения матриц получаем, что
,
так как .
Пусть
есть произведение матриц:
и .
Что можно сказать относительно ранга ? Мы сейчас покажем, что ранг произведения двух матриц не выше ранга каждого из сомножителей.
В самом деле, если
− элемент матрицы
,
то по правилу перемножения
(
).
Таким образом,
каждый элемент
есть сумма
слагаемых. Обозначим теперь ранг матрицы
через
,
а ранг матрицы
через
и покажем, что любой минор
(
)
-го
порядка матрицы
равен нулю. Определитель
можно, очевидно, разложить на сумму
определителей типа
, (2)
так как элемент каждого столбца есть сумма слагаемых. Вынося из каждого столбца определителя (2) общий множитель, получим:
.
Последний определитель может иметь некоторые строки или столбцы одинаковыми, но может также иметь и различные строки и столбцы. В первом случае он, очевидно, равен нулю. Но и во втором случае определитель равен нулю, так как он будет минором -го порядка ( ) матрицы ранга .
Итак, мы видим, что равно нулю, так как все его слагаемые (2) равны нулю. Этим вполне доказано, что ранг не может быть выше ранга .
Остается показать,
что ранг
не выше ранга второго сомножителя
.
Обращаемся к транспонированной матрице
.
Ее ранг, с одной стороны, равен рангу
.
С другой стороны,
,
а отсюда, пользуясь результатом,
полученным для первого сомножителя,
находим, что ранг
не может быть выше ранга
.
Но ранг транспонированной матрицы
равен рангу
.
Таким образом, ранг
не может быть выше ранга
.
Особенно важен для нас тот частный случай, когда один из сомножителей, например , есть невырожденная матрица.
Если матрица
ранга
умножается (слева или справа) на
невырожденную матрицу
,
то ранг произведения также равен
.
Доказывается это
довольно просто. С одной стороны, ранг
произведения
,
как мы уже знаем, меньше или равен рангу
матрицы
:
.
С другой стороны, умножив
справа на
,
получим:
.
Здесь
является произведением
на
;
поэтому ранг
меньше или равен рангу матрицы
:
.
Но неравенства
,
как раз свидетельствуют о том, что
.
Для произведения
доказательство приводится аналогично.
Теперь мы в состоянии доказать нашу теорему.
Доказательство. Квадратичную форму
удобнее записать в матричном виде
, (3)
где
,
− матрица
,
и
− транспонированная матрица
.
Подвергнем невырожденному линейному преобразованию:
(
). (4)
Здесь в отличие
от предыдущего старые неизвестные
выражаются через новые. Обозначим через
матрицу этого преобразования:
.
Линейное преобразование (4) можно записать
в матричном виде:
,
где
.
Подставляя это
выражение
в правую часть равенства (3), получаем:
,
или, так как
:
.
Матрица
является также симметрической, так как
(очевидно,
,
а
благодаря тому, что
− симметрическая матрица). Мы видим
отсюда, что
− матрица преобразованной квадратичной
формы.
Итак, при линейном преобразовании (4) неизвестных с матрицей (старые неизвестные выражаются через новые) матрица В преобразованной квадратичной формы выражается через матрицу первоначальной квадратичной формы следующим образом: .
Отсюда, так как
− невырожденная матрица, ранг
равен рангу
;
в свою очередь ранг
равен рангу
,
поскольку
также невырожденная матрица. Следовательно,
ранг преобразованной квадратичной
формы равен рангу первоначальной формы.
Теорема доказана.
Выражение
нельзя смешивать с выражением
,
так как, вообще говоря, матрица
не равна обратной матрице
.
Вернемся к вопросу, заданному в самом начале параграфа. Чему равно число членов канонического вида (1)? Оказывается, что равно рангу формы .
Следствие. Если − квадратичная форма ранга , то после приведения ее линейным невырожденным преобразованием к каноническому виду она будет содержать отличных от нуля членов.
В самом деле, пусть квадратичная форма ранга приведена к каноническому виду (1). Матрица формы (1), очевидно, равна:
(Если
,
то последние
строк и
столбцов отпадают.), откуда ясно, что
ранг
равен
.
Но, с другой стороны, ранг формы
от невырожденного преобразования не
меняется; следовательно,
,
что и требовалось показать.
В заключение разберем пример, иллюстрирующий вышеизложенное.
Пример.
Рассмотрим форму
.
Ее ранг равен двум, так как ранг ее
матрицы
равен 2. Следовательно,
после приведения к каноническому виду
с помощью линейного невырожденного
преобразования должно получиться два
отличных от нуля члена независимо от
способа приведения. И действительно,
преобразуя
методом Лагранжа, получим канонический
вид
,
причем
,
,
.