Ортогональное дополнение пространства
Пусть
− некоторое подпространство размерности
евклидова пространства
.
Очевидно, что
является также евклидовым пространством,
так как скалярное произведение векторов,
определенное в
,
будет тем самым определено и в
.
Назовем ортогональным
дополнением
подпространства
множество векторов, ортогональных к
каждому вектору из
.
Мы будем это множество обозначать через
.
Лемма 1. Ортогональное дополнение подпространства также является подпространством, причем сумма размерностей подпространств и равна − размерности всего евклидова пространства . При этом только нулевой вектор входит одновременно в и в .
Доказательство.
Пусть
− ортонормированный базис
и
− координатная строка вектора
(
)
при некотором ортонормированном базисе
евклидова пространства
.
Любой вектор
из ортогонального дополнения
,
очевидно, ортогонален к каждому из
векторов
:
,
.
Обратно, если вектор из ортогонален к каждому из векторов , то он будет ортогонален к любой линейной комбинации этих векторов, т.е. будет ортогонален к любому вектору из подпространства . Вектор , таким образом, будет принадлежать ортогональному дополнению . Мы видим отсюда, что система линейных однородных уравнений
,
задает ортогональное
дополнение
.
Эта система уравнений в силу линейной
независимости векторов
имеет ранг, равный
.
Следовательно,
является подпространством
размерности
.
Наконец, пусть − вектор, принадлежащий как подпространству , так и ортогональному дополнению . Тогда вектор должен быть ортогонален самому себе: , откуда .
Лемма 2. Если подпространство инвариантно относительно симметрического преобразования у евклидова пространства , то ортогональное дополнение также инвариантно относительно .
Доказательство.
Пусть
− некоторый вектор из
и
− некоторый вектор из
.
Тогда
,
так как в силу инвариантности
образ
должен принадлежать
.
Поскольку образ
оказался ортогональным к вектору
,
он должен принадлежать
,
т.е.
инвариантно относительно
.
Теорема (об ортонормированном базисе из собственных векторов симметрического преобразования). Преобразование евклидова пространства тогда и только тогда является симметрическим, когда существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Доказательство.
Пусть для преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов:
,
(могут встречаться и равные
).
В этом базисе преобразование
будет задаваться диагональной матрицей
.
Но
− симметрическая матрица. Следовательно,
по теореме из п. 1.10. преобразование
должно быть симметрическим.
Обратно, пусть − симметрическое преобразование пространства . Обозначим через
все различные характеристические числа
преобразования
.
В силу теоремы 2 числа
и только такие числа являются собственными
значениями
.
Далее, обозначим через
(
)
подпространство, принадлежащее
собственному значению
,
и через
− ортонормированный базис
.
По лемме из п. 1.10. каждый вектор
подпространства
будет при
ортогонален к каждому вектору
подпространства
.
Отсюда получается, что система векторов
,
получающаяся путем объединения
ортонормированных базисов подпространств
,
является ортонормированной. Пусть
есть
подпространство, натянутое на эту
систему векторов. Очевидно, что векторы
образуют ортонормированный базис
подпространства
и что эти векторы собственные. Если
сумма
равна
–
размерности евклидова пространства
,
то
совпадает
с
,
и теорема будет доказана. Поэтому
предположим, что размерность
подпространства
меньше
.
Тогда по лемме 2 размерность ортогонального
дополнения
будет равна
.
Подпространство
инвариантно относительно
,
так как для всякого вектора
из
получаем,
что
,
т.е.
есть также вектор из
.
Следовательно, по лемме 3 ортогональное
дополнение
является также инвариантным
подпространством относительно
.
Симметрическое преобразование
пространства
,
таким образом, индуцирует симметрическое
преобразование инвариантного
подпространства
,
в силу чего в
должен существовать по меньшей мере
один собственный вектор
,
принадлежащий некоторому собственному
значению
.
Но все собственные векторы уже лежат
в
.
Поэтому вектор
должен одновременно принадлежать
и
,
а это согласно лемме 1 возможно лишь
при
.
Получается противоречие с тем, что
(по определению собственный вектор
есть, прежде всего, ненулевой вектор).
Итак, подпространство
должно совпадать с
,
и теорема доказана.
Обозначим через
матрицу перехода от ортонормированного
базиса
к некоторому другому базису
пространства
.
Нетрудно убедиться, что матрица
ортогональна тогда и только тогда, когда
базис
ортонормирован.
В самом деле, матрица задает в ортонормированном базисе некоторое линейное преобразование пространства , переводящее в базис , и это преобразование (а следовательно, и матрица ) тогда и только тогда ортогонально, когда базис ортонормирован.
Пусть теперь
симметрическое преобразование
пространства
задано в некотором ортонормированном
базисе симметрической матрицей
.
Согласно теореме должен существовать
ортонормированный базис из собственных
векторов, при котором
задается диагональной матрицей
.
Матрица
перехода от первоначального базиса к
базису из собственных векторов должна
быть ортогональной, так как оба базиса
ортонормированы. Следовательно, для
всякой симметрической матрицы
с действительными элементами можно
подобрать такую ортогональную матрицу
того же порядка, чтобы
была диагональной матрицей.
Покажем, что независимо от выбора ортогональной матрицы получается единственный диагональный вид симметрической матрицы с действительными элементами с точностью до порядка следования диагональных элементов.
Пусть эта матрица приводится к диагональному виду
с помощью
ортогональной матрицы
и к диагональному виду
с помошыо
ортогональной матрицы
.
Так как матрицы
и
подобны матрице
:
и
,
то матрица
подобна матрице
:
,
где
.
Отсюда следует, что характеристические
многочлены матриц
и
равны:
или
,
откуда диагональные элементы
матрицы
с точностью до порядка следования должны
совпадать с диагональными элементами
матрицы
(в силу единственности разложения
многочлена на неприводимые множители).
Пример. Привести симметрическую матрицу
к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы.
Составляем характеристическую матрицу и характеристическое уравнение;
и
,
откуда получаются
характеристические числа
и
соответственно кратности
и
.
Находим ортонормированный базис
подпространства
,
принадлежащего собственному значению
.
Ранг матрицы
системы линейных однородных уравнении
задающей
подпространство
,
равен 1. Находим фундаментальную систему
решений этой системы линейных однородных
уравнений:
и
.
Следовательно,
,
есть базис подпространства
,
где
,
,
− некоторый ортонормированный базис
евклидова пространства
,
в котором матрица
задает симметрическое преобразование
.
Ортогонализируем и нормируем векторы
и
;
получаем:
,
.
Далее, находим
ортонормированный базис подпространства
принадлежащего собственному значению
.
Ранг матрицы
системы линейных однородных уравнении
задающей
подпространство
,
равен 2. Следовательно, фундаментальная
система должна состоять из одного
решения. Находим его:
.
Таким образом, базис подпространства
состоит из одного вектора
.
Нормируем
:
,
.
Так как
отлично от
,
то вектор
должен быть ортогонален к векторам
и
.
В качестве контроля можно составить
скалярные произведения
и
и убедиться, что они равны нулю.
Итак, нами получена ортонормированная система собственных векторов:
,
,
.
и эта система образует базис всего евклидова пространства . В базисе , , симметрическое преобразование будет задаваться диагональной матрицей
,
и матрицей перехода от первоначального базиса , , к базису , , будет ортогональная матрица
.
Предлагаем в
качестве контроля перемножить матрицы
(
− транспонированная матрица
),
и
и убедиться, что произведение
равно диагональной матрице
.