Матрица ортогонального преобразования
Посмотрим теперь, какой матрицей задается ортогональное преобразование в ортонормированном базисе.
Квадратная матрица
порядка
с действительными элементами называется
ортогональной, если
,
где
− транспонированная матрица
и
− единичная матрица
-го
порядка.
Из этого определения следует, что
Квадратная матрица порядка тогда и только тогда ортогональна, когда ее транспонированная матрица равна обратной матрице
:
,
.Если − ортогональная матрица, то транспонированная матрица также ортогональна.
В самом деле,
и
,
,
откуда
.
Определитель ортогональной матрицы равен
,
в силу чего
− невырожденная матрица
(впрочем, невырожденность
следует уже из того, что
).
В самом деле,
,
откуда |
.
Отметим, что если, обратно, определитель квадратной матрицы порядка равен , то матрица может и не быть ортогональной. Например, определитель матрицы
равен 1, но
произведение
не равно единичной матрице второго
порядка.
Произведение двух и более ортогональных матриц порядка есть также ортогональная матрица.
Доказательство.
(Для случая двух матриц.) Пусть
и
− две ортогональные матрицы
-го
порядка. Обозначим их произведение
через
.
Ясно, что
− матрица также с действительными
элементами. Кроме того,
.
Следовательно,
− ортогональная матрица.
Предоставляем читателю провести доказательство для любого числа ортогональных матриц с помощью метода математической индукции.
Если − ортогональная матрица, то обратная матрица также ортогональна.
В самом деле,
очевидно, что элементы
действительны и
.
Теорема 1. Линейное преобразование евклидова пространства тогда и только тогда ортогонально, когда оно задается в ортонормированном базисе ортогональной матрицей.
Доказательство. Возьмем какой-нибудь ортонормированный базис . Если − ортогональное преобразование, то система образов также является ортонормированным базисом.
Пусть теперь
− матрица
в базисе
.
Тогда
,
.
Пользуясь выражением скалярного
произведения в ортонормированном
базисе, получаем отсюда, что
,
.
С другой стороны,
и
при
в силу ортонормированности системы
.
Следовательно,
и
при
.
Из этих равенств видно, что
,
т.е.
− ортогональная матрица.
Обратно, пусть некоторое линейное преобразование пространства задается ортогональной матрицей
в ортонормированном
базисе
.
Рассмотрим систему образов
(
).
Так как
,
то
и
при
.
Но, с другой стороны,
и
.
Следовательно,
и
при
,
т.е. преобразование
переводит ортонормированный базис
в ортонормированный базис
,
в силу чего
− ортогональное преобразование.
Назовем теперь линейное преобразование неизвестных в новые неизвестные ортогональным, если матрица этого линейного преобразования ортогональна. Тогда из теоремы 3 вытекает, что линейное преобразование евклидова пространства ортогонально тогда и только тогда, когда вызываемое им линейное преобразование
(1)
координат вектора
в ортонормированном базисе
ортогонально.
Действительно, матрицей линейного преобразования (1) координат вектора является матрица линейного преобразования в ортонормированном базисе , в силу чего преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда ортогонально преобразование (1).
Существует, впрочем, другое определение ортогонального преобразования неизвестных. Оно вытекает из следующей теоремы.
Теорема 2.
Линейное
преобразование (1) координат ортогонально
тогда и только тогда, когда оно оставляет
инвариантным сумму квадратов этих
координат:
.
Доказательство.
Пусть в некотором ортонормированном
базисе
матрица
преобразования (1) задает линейное
преобразование
пространства
.
Возьмем вектор
.
Вектор
будет, очевидно, образом вектора
.
Так как
− ортонормированный базис, то
и
.
Если теперь преобразование (1) ортогонально,
то и
ортогонально, вследствие чего
,
т.е.
.
Обратно, если
,
то
,
т.е.
ортогонально, и потому преобразование
(1) также ортогонально.