2. Норма вектора в евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского

Назовем длиной вектора положительное значение . Длину мы будем обозначать через . Так как при и только при , то всякий ненулевой вектор имеет длину, отличную от нуля, и только нулевой вектор имеет длину, равную нулю.

Назовем, далее, вектор нормированным, если его длина равна единице. Легко видеть, что если длина вектора не равна единице, то можно этот вектор преобразовать в нормированный вектор. А именно, вектор уже является нормированным, так как

.

Затем назовем векторы и ортогональными (или перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Очевидно, что нулевой и только нулевой вектор ортогонален самому себе.

Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны:

при , .

Докажем теперь следующее важное свойство ортогональной системы.

Теорема. Всякая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства линейно независима.

Доказательство. Пусть для этой системы векторов имеет место равенство

,

где − действительные числа. Тогда

.

В силу ортогональности при , но , так как . Следовательно, и . Так как − любое из чисел , то , т.е. система векторов линейно независима.

2. Ортонормирование векторов в Евклидовом пространстве

Ортогональная система векторов называется ортонормированной, если каждый ее вектор является нормированным. Из только что доказанной теоремы непосредственно вытекает, что всякая ортонормированная система векторов линейно независима.

Покажем, что всякую ортогональную систему ненулевых векторов можно преобразовать в ортонормированную систему.

Полагаем и получаем:

при

и , т.е. образуют ортонормированную систему.

Если число векторов ортогональной системы равно и векторы ненулевые, то в силу линейной независимости такая система будет базисом пространства , это так называемый ортогональный базис. В частности, когда векторы ортогонального базиса нормированы, базис называется ортонормированным.

Покажем, что в евклидовом пространстве всегда существует по меньшей мере один ортонормированный базис. Для этой цели воспользуемся так называемым процессом ортогонализации.

2. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Пусть − какая-нибудь линейно независимая система векторов пространства . Положим и , где − некоторое действительное число. В силу линейной независимости системы вектор отличен от нуля при любом действительном . Покажем, что можно выбрать такое значение , чтобы вектор стал ортогонален вектору : . Подставляя выражение , получаем:

.

Но (а именно ), так как . Следовательно,

,

т.е. мы однозначно определили значение , при котором ортогонально . Полагаем далее , где и − действительные числа. Легко видеть, что . В самом деле, в противном случае получилось бы , или, подставляя выражения векторов и через векторы и :

,

что противоречит линейной независимости данной системы векторов . Потребуем теперь, чтобы вектор стал ортогональным к предыдущим векторам и :

и ,

или

,

.

Но . Следовательно,

и .

Скалярные квадраты и отличны от нуля, так как , , и мы можем последние два уравнения однозначно разрешить относительно и :

, и т. д.

Вообще, полагаем на -м шагу ( )

,

где − действительные числа. Если бы , то, подставляя в левую часть этого равенства выражения векторов через , мы получили бы линейную зависимость векторов , что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, при любых действительных . Потребуем, чтобы при . Подставляя выражение через и , получаем:

,

так как при и . Но , и потому . Следовательно,

, ,

и при этих значениях вектор будет уже ортогональным к предыдущим векторам .

Действуя таким образом, мы в конечном счете линейно независимую систему векторов преобразуем в ортогональную систему не­нулевых векторов .

Наконец, нормируя каждый вектор : , получим ортонормированную систему .

В частности, если − базис подпространства пространства , то его можем подобным процессом преобразовать в ортонормированный базис подпространства . Таким образом, для всякого ненулевого подпространства (и, в частности, для всего евклидова пространства ) существует по меньшей мере один ортонормированный базис.

Пример. В некотором базисе трехмерного евклидова пространства скалярное произведение задано следующей симметрической би­линейной формой:

.

Преобразовать этот базис в ортонормированный базис пространства .

Решение. Сперва преобразуем базис в ортогональный базис: , ,

,

откуда . Вместо возьмем . Это удобнее, так как вектор имеет целые координаты и также ортогонален к . Полагаем далее:

.

Находим:

, ,

откуда . Но вместо удобнее взять . Итак, мы получили ортогональный базис: , , . Нормируем его: , , . Получаем следующий ортонормированный базис пространства :

, , .