5. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

В качестве приложения займемся задачей приведения общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Для большего удобства текущие координаты , , обозначим через , , .

. (1)

Сумма первых шести членов левой части уравнения (1) представляет собой действительную квадратичную форму от трех неизвестных , , :

.

По меньшей мере один из коэффициентов формы должен быть отличен от нуля; в противном случае уравнение (1) было бы уравнением плоскости, а не поверхности второго порядка. Приведем форму к каноническому виду с помощью некоторого ортогонального преобразования . Уравнение (1) поверхности примет вид:

, (2)

причем по меньшей мере одно из характеристических чисел , , должно быть отлично от нуля; если бы это не имело места, то матрица канонического вида формы была бы нулевой, а потому матрица первоначальной формы была бы нулевой, т.е. все коэффициенты формы равнялись бы нулю, что невозможно. Мы можем предполагать, что ; в противном случае мы соответствующим образом изменили бы нумерацию неизвестных , , , что равносильно ортогональному преобразованию. Пользуясь тем, что , произведем теперь перенос начала координат в точку , т. е. положим

, , .

Тогда в уравнении (2) исчезнет член , и уравнение примет вид:

, (3)

где . Если и , то подобным же образом уничтожатся члены и и уравнение поверхности второго порядка примет вид:

,

т.е. получится каноническое уравнение центральной поверхности.

Уравнение центральной поверхности получается и в том случае, когда , так как тогда уравнение (3) превращается в

.

Поэтому пусть по меньшей мере одно из чисел , не равно нулю. Если, кроме того, , то получается, что

. (4)

В этом случае произведем дальнейшее ортогональное преобразование:

, , ,

где , после чего уравнение (4) перейдет в

.

Затем после переноса начала в точку :

, ,

мы сделаем равным нулю и получим:

,

т.е. получим каноническое уравнение нецентральной поверхности.

Наконец, если только одно из чисел , не равно нулю, например, , а , то уравнение (3) будет выглядеть так:

,

и мы можем снова произвести перенос начала:

, , ,

после чего получится уравнение

. (5)

В случае мы будем иметь каноническое уравнение

центральной поверхности, а в случае произведем еще раз перенос начала:

, , ,

после которого уравнение (5) перейдет в каноническое уравнение нецентральной поверхности:

, .

Итак, с помощью ортогональных преобразований и переносов начала уравнение (1) поверхности второго порядка преобразуется либо в каноническое уравнение центральной поверхности:

, ,

либо в каноническое уравнение нецентральной поверхности:

, .

Отметим в заключение, что поверхность второго порядка называется вырожденной цилиндрической, если в ее каноническом уравнении отсутствует хотя бы одна текущая координата.

Литература

1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. - СПб.: Лань, 2004. - 624 с.

2. Кныш Т.П. Линейные пространства. Конспект лекций. - СПГУВК. СПб., 2010.-69 с.

3. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007. - 304 с.

4. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. - СПб.: Лань, 2007. - 336 с.

5. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007. - 288 с.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - СПб. ; М. ; Краснодар: Лань, физматкнига, 2007. - 432 с.

7. Окунев Л.Я. Высшая алгебра.- СПб.: Лань, 2009. - 336 с.