4. Приведение квадратичной формы к главным осям

На протяжении предыдущих параграфов мы говорили о приведении квадратичной формы над числовым полем к каноническому виду с помощью линейного невырожденного преобразования неизвестных.

Никаких особых ограничений на линейные невырожденные преобразования не накладывались: они могли быть любыми с коэффициентами из данного числового поля, лишь бы квадратичные формы приводились к каноническому виду. В аналитической геометрии приведение кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду достигается, однако, не произвольным образом, а с помощью специального класса линейных преобразований.

Эти преобразования, известные под названием ортогональных, можно перенести и на общий случай действительных квадратичных форм неизвестных и развить теорию приведения квадратичных форм к главным осям, теорию, имеющую глубокие приложения в различных приложениях математики, в механике и в физике.

Докажем прежде всего следующую основную теорему.

Теорема (о приведении квадратичной формы к главным осям). Всякую квадратичную форму с действительными коэффициентами от неизвестных можно привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования неизвестных.

Доказательство. Так как матрица квадратичной формы есть симметрическая матрица -го порядка с действительными элементами, то ее можно привести к диагональному виду

с помощью ортогональной матрицы того же порядка: . Но ортогональная матрица обладает тем свойством, что ее обратная матрица равна транспонированной матрице; следовательно, , и мы можем написать, что .

Подвергнем теперь неизвестные ортогональному линейному преобразованию или . Тогда квадратичная форма перейдет в квадратичную форму с матрицей , т.е. приведется к каноническому виду

.

Пример. Привести к главным осям квадратичную форму

,

т.е. привести эту форму к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования неизвестных.

Решение. Составляем матрицу квадратичной формы :

и приводим матрицу к диагональному виду с помощью некоторой ортогональной матрицы. Но в примере, рассмотренном ранее, мы уже нашли диагональный вид этой матрицы и ортогональную матрицу :

,

.

Таким образом, данная квадратичная форма приводится к каноническому виду

с помощью ортогонального преобразования , или подробнее:

,

,

.

Впрочем, ортогональное преобразование можно записать в виде , что часто оказывается более удобным. Имеем:

,

,

.

Действительная квадратичная форма, т.е. форма с действительными коэффициентами, может быть приведена к каноническому виду различными ортогональными преобразованиями. Но мы сейчас увидим, что все эти ортогональные преобразования приводят данную квадратичную форму к одному и тому же каноническому виду с точностью до порядка следования членов.

Теорема (о единственности канонического вида). При любом ортогональном преобразовании неизвестных , приводящем действительную квадратичную форму к каноническому виду, получается с точностью до порядка следования членов один и тот же канонический вид:

, (1)

причем коэффициентами этого канонического вида являются характеристические числа матрицы квадратичной формы , и каждый из этих чисел встречается в каноническом виде (1) в качестве коэффициента столько раз, какова кратность этого числа.

Доказательство. Пусть данная квадратичная форма с помощью ортогонального преобразования приводится к каноническому виду (1) и с помощью преобразования приводится к каноническому виду

. (2)

Обозначим через и соответственно матрицу канонического вида (1) и матрицу канонического вида (2). Это будут, очевидно, диагональные матрицы, причем и . Так как и − ортогональные матрицы, то и , в силу чего

, .

Но в [2] было показано, что независимо от выбора ортогональной матрицы получается единственный диагональный вид симметрической матрицы с действительными элементами с точностью до порядка следования диагональных элементов. Поэтому канонический вид (2) должен с точностью до порядка следования членов совпадать с каноническим видом (1), т.е. при соответствующей нумерации неизвестных .

Далее, в силу подобия матрицы и должны иметь одни и те же характеристические числа. Но

,

откуда − характеристические числа матрицы и, следовательно, матрицы . Пусть при соответствующей нумерации ( ) все различные характеристические числа матрицы с кратностями, равными соответственно ( ). Тогда будут встречаться в диагональном виде соответственно раз, т.е. каждый из характеристических чисел будет встречаться в каноническом виде (1) в качестве коэффициента столько раз, какова его кратность.