19.11.2012 — Лекция №15

Форма представления системы счисления и чисел

Система счисления бывает двух типов: позиционная и непозиционная. В непозиционных системах счисления число определяется набором символов. Основной недостаток непозиционных систем – сложность выполнения вычислений и длинная запись больших чисел большим числом символов.

Наибольшее распространение в мире получили непозиционные системы счисления. В позиционной системе счисления каждый старший разряд определяет число переполнений по модулю счета предыдущего разряда. Таким образом реализуется очень емкая и компактная система счисления, хорошо поддающаяся алгоритмизации арифметических операций.

Человек лучше воспринимает образы, чем предметы, поэтому чем больше различных символов, тем лучше человек воспринимает информацию. Китайские иероглифы – лучшая система информации.

Для обработки примем двоичную систему счисления. Недостаток образного представления информации – трудность в формировке законов (предметной области).

Для представления двоичных чисел в удобной форме используется шестнадцатеричная система. Нужно дополнить до тетрады незначащими нулями слева и справа. Для преобразования шестнадцатеричного числа в двоичное нужно преобразовать каждую цифру в двоичную тетраду. Иногда используется восьмеричная система счисления.

Кроме того, самая большая проблема – представление отрицательных чисел в ЭВМ. Отрицательные числа представляются единицей в старшем разряде двоичного числа, но как контролировать переполнение разрядной сетки при сложении и вычитании чисел со знаком, поэтому применяется модифицированное кодирование, когда знак кодируется двумя старшими битами. Для преобразования отрицательного числа, представленного дополнительным кодом в положительное число (взятие модуля) необходимо проинвертировать каждый бит и прибавить единицу к полученному коду.

Для контроля переполнения разрядной сетки проверяется два старших бита. Если они равны, то переполнения не было, если противоположны – то было переполнение разрядной сетки и нужно корректировать результат.

Т.к. при модифицированном кодировании диапазон представления чисел снижен в 2 раза, то для этой функции обычно используется старший разряд и бит переноса. В современных сигнальных процессорах используется четырехкратное или восьмикратное кодирование (для того, чтобы не потерять информацию при шестнадцатикратном переполнении разрядной сетки).

Для преобразования двоичного числа в десятичное нужно сложить все веса разрядов двоичного числа, в котором находится единица.

Таблица перекодировки чисел в различные системы счисления

D без. зн.	D со зн	D6 число	Н числ	Q	BCD-кодир.ч.
0 1 7 8 10 15 16 127 128 129 254 255	+0 +1 +7 +8 +10 +15 +16 +127 -128 -127 -2 -1	0000 0000 0000 0001 0000 0111 0000 1000 0000 1010 0000 1111 0001 0000 0111 1111 1000 0000 1000 0001 1111 1110 1111 1111	00 01 07 08 0А 0F 10 7F 80 81 FE FF	000 001 007 010 012 017 020 177 200 201 376 377	0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0111 0000 0000 1000 0000 0001 0000 0000 0001 0101 0000 0001 0110 0001 0010 0111 0001 0010 0111 0011 0010 1001 0010 0101 0100 0010 0101 0101

По форме представления чисел в ЭВМ разделяются числа с фиксированной точкой и числа с плавающей точкой. a_n2ⁿ+a_n-1 2 ^n-1+…+a₁ 2¹ +a₀ . a_-1 2^-1+a_-2 2 ^-2 +…

(.) в формуле – значащая точка

В ЭВМ используется 2 вида чисел: с фиксированной точкой – только целые числа (когда отрицательные степени двойки отсутствуют), и наоборот используется только дробная часть, когда целые степени двойки не должны присутствовать в числе и считаются переполнением разрядной сетки. Алгоритмы для целых и для дробных чисел различные. Если необходимо преобразовать число к одной из указанных форм, то число нужно умножить или разделить на число кратное двойке, т.е. выполнить операцию сдвига вправо и влево на нужное число разрядов.