10.Основні поняття оптимізаційних моделей в менеджменті та маркетингу і математичного апарату їх розв'язання.

Оптимізаційними завданнями, в економіці називаються економіко-математичні задачі, мета яких полягає в знаходженні найкращого (оптимального) з точки зору деякого критерію (критеріїв) варіанта використання наявних ресурсів (матеріальних, тимчасових і т.д.). Вирішуються такі задачі за допомогою оптимізаційних моделей методами математичного програмування.

На відміну від дескриптивних, тобто описових моделей, прикладом яких можуть служити розглянуті вище балансові моделі, оптимізаційні моделі поряд з рівняннями або нерівностями, що описують взаємозв'язку між змінними, містять також критерій для вибору, званий функціоналом, або цільовою функцією. Таким чином, загальна структура цих моделей складається з цільової функції, приймаючої значення в межах обмеженої умовами задачі області (області допустимих рішень), і з обмежень, що характеризують ці умови. Цільова функція в самому загальному вигляді визначається трьома моментами: керованими змінними, некерованими параметрами (залежними, наприклад, від зовнішнього середовища) і видом (формою) залежності між ними (виглядом функції). Якщо позначити критерій оптимальності через U, керовані змінні - = (xi), параметри - = (pj), задані межі (область) зміни керованих змінних - М, то загальний вигляд оптимізаційної моделі буде наступним: 

Завдання виду (25.27) вирішуються методами математичного програмування, яке включає в себе лінійне, нелінійне, динамічне, цілочисельне програмування і т.д. Вибір методів математичного програмування для розв'язання оптимізаційних задач визначається виглядом цільової функції f, видом обмежень, що визначають область М, і спеціальними обмеженнями на керовані змінні (наприклад, вимогою їх цілочисельності). Рішення задачі одержання управнених (25.27) зазвичай називається оптимальним рішенням, або оптимальним планом.

Розглянемо насамперед оптимізаційні задачі, що зводяться до задач лінійного програмування (ЗЛП). У загальному вигляді така задача може бути сформульована, наприклад, наступним чином.

Знайти вектор = (х1, х2 ... хn), максимізує лінійну цільову функцію:, а також задовольняє лінійним функціональним обмеженням:

Крім того, шуканий вектор повинен задовольняти і прямим обмеженням: 

Завдання (25.28) може бути записана в канонічній формі, при якій функціональні обмеження мають вигляд рівностей. Це досягається шляхом додавання до лівим частинам цих обмежень т додаткових невід'ємних змінних. ЗЛП в канонічній формі вирішується симплексним методом, в той же час для деяких ЗЛП спеціального виду розроблені відповідні методи (алгоритми) рішення.

Деякі з них не пов'язані безпосередньо з алгоритмом симплексного методу, як, наприклад, метод потенціалів для вирішення транспортної задачі; інші ж в якості складових елементів використовують обчислювальні процедури симплексного методу. Як приклад останніх можна привести метод Гоморі (метод відсікань) для вирішення завдань лінійного цілочисельного програмування.

Оптимізаційні задачі, що зводяться до задач лінійного програмування, широко використовуються в процесі економіко-математичного моделювання (вони розглядаються нижче). Однак задачами лінійного програмування не вичерпуються всі види оптимізаційних економічних задач, так як у багатьох випадках цільова функція задачі і обмеження на область допустимих рішень не задовольняють умовам лінійності. Тоді застосовуються спеціальні методи нелінійного програмування, наприклад метод множників Лагранжа, динамічного та імітаційного програмування та ін.

11.Характеристика моделей оптимального складання сумішей, раціонального розподілу матеріальних ресурсів.

Моделі оптимального складання сумішей (сплавів). У ряді проведень готова продукція виходить шляхом змішування різних вихідних компонентів, при цьому її якість повинна відповідати певним вимогам при досягненні максимального економічного ефекту. Оптимізація складу вихідних компонентів являє собою економіко-математичне завдання, яке називається завданням про суміші.

Склад готової продукції визначається наявністю в ньому т видів елементів, утримування яких лімітується величиною l, (i – 1, 2 ... т). Для k елементів, що погіршують якість продукції, задана верхня границя втримування того або іншого елемента (li, ≤ а_i), а для т – k елементів, що поліпшують якість продукції, задана нижня границя втримування елемента в готовій продукції (li, ≥ а_i). Для проведення готової продукції може бути використане п видів компонентів, обсяги яких обмежені величиною bj (j = 1, 2 ... п).

Відоме втримування i-го елемента в j-м компоненту, яке позначимо як а_ij. Відома вартість окремих компонентів, включаючи видатки на їхню переробку, яку позначимо як cj. Нарешті, задана загальна кількість готової продукції (М), яке слід виготовити за планом. Потрібно скласти таку суміш із наявних компонентів, щоб витрати на це складання були мінімальними.

Позначимо кількість використовуваного для складання суміші j-го компонента через х_j, а вектор, координатами якого є величини х_j, – через . Цільова функція завдання має вигляд:

Обмеження формулюються в такий спосіб:

Обмеження (25.38) ставляться до елементів, що погіршують якість, (25.39) – до елементів, що поліпшують якість, (25.40) - до плану проведення, (25.41) – до обмеження ресурсів.

Завдання про суміші вирішується із застосуванням методів лінійного програмування.

Моделі оптимального розкрою промислових матеріалів. Сутність оптимального розкрою полягає в розробці таких технологічно припустимих розкрійних планів, при яких зі стандартних одиниць, що раскраиваемых ресурсів виходить необхідний комплект заготовок необхідного розміру, а критерій оптимальності укладається у відомості до мінімуму або загальної величини відходів крою, або кількості единиц, що раскраиваемых, ресурсів.

Формулювання завдання оптимального розкрою залежить від форми материала, що раскраиваемого, який може бути довгомірним, листовим, рулонним і т.д. Сформулюємо економіко-математичну модель завдання оптимального розкрою по одному виміру довгомірних матеріалів (прутків, труб, профільного прокату й ін.). Приймемо наступні позначення:

L – довжина вихідного матеріалу;

i – номер (індекс) виду необхідних заготовок, i = 1, 2 ... т;

li – довжина заготовки i-го виду;

А_i – необхідне число заготовок i-го виду (не менш);

j - номер варіанта розкрою, j = 1, 2 ... n;

aj – кількість заготовок i-го виду при розкрої одиниці вихідного матеріалу по j-му варіанту;

с_ij – довжина відходу по j-му варіанту.

Нехай х₁ - кількість одиниць вихідного матеріалу, що раскраиваемых по i-му варіанту. Цільова функція за критерієм мінімуму відходів має вигляд:

За критерієм мінімуму единиц, що раскраиваемых, вихідного матеріалу рівняння може бути таким:

Це вірно при дотриманні наступних умов:

Вийшло завдання лінійного програмування, яку треба поповнити вимогою целочисленности величини х_j.

Помітимо, що в багатьох випадках розв'язку завдань із обома зазначеними цільовими функціями збігаються.

Найбільш трудомісткий етап у процесі побудови моделі розглянутого завдання укладається у визначенні всіх можливих варіантів розкрою. Вихідні співвідношення для складання варіантів розкрою наступні:

Умова (25.46) означає, що довжина відходу для будь-якого варіанта розкрою повинна бути менше, довжини самої короткої заготовки (це є ознакою повноцінності варіанта).

12.Основні висновки теорії подвійності лінійного програмування та приклади їх застосування у задачах маркетингу.

Нехай маємо двоїснуу пару задач

Пряма задача

Двоїста задача

Кожна із задач двоїстої пари є самостійної ЗЛП і може бути вирішена незалежно одна від іншої. У той же час, розв'язавши одну із завдань симплекс-методом, ми легко можемо знайти розв'язок двоїстого до неї завдання.

Існування залежності між розв'язками прямій і двоїстої завдань характеризується сформульованими нижче лемами й теоремами подвійності.

Лема 1. Для будь-яких припустимих планів Х и Y пари двоїстих ЗЛП слушне співвідношення: Нерівність називають основною нерівністю в теорії подвійності. Його економічний зміст, наприклад, для виробничого завдання випуску продукції, укладається в тому, що при будь-якому припустимому плані проведення Х загальна вартість продукції Z(X) не більше сумарної оцінки ресурсів W(Y), що відповідає будь-якому припустимому вектору оцінок Y.

Лема 2 Якщо для деяких припустимих планів Х^* і Y^* пари двоїстих завдань виконується умова: те Х^* і Y^* є оптимальними планами відповідної пари двоїстих завдань.

Економічна інтерпретація леми 2: плани проведення й оцінки ресурсів є оптимальними, якщо вартість усієї продукції й сумарна оцінка ресурсів збігаються.