33.Запишіть основну злп в загальному вигляді.

Лінійне програмування - це розділ математичного програмування, який досліджує моделі екстремальних задач з лінійної цільової функцією і системою обмежень, що складається з лінійних рівнянь і нерівностей. Загальна задача лінійного програмування у формальній постановці має вигляд:: 1)F=f(Xj) ext(max,min), при виконанні обмежень виробничого характеру. 2) ; 3)при зміні величини або численні. Для задач оптимізації розроблені моделі та алгоритми розв’язання, які класифікуються згідно з поведінкою цільової функції та обмеження моделі. У процесі перетворення змісту задачі до формального вигляду необхідно визначити:– які ресурси є початковими та який продукт є кінцевим;– скільки змінних хj має кінцевий продукт;– які величини є оцінками сj та їх зміст;– яка наявність ресурсів bi або особливі умови, які відображують виробничо-господарські вимоги; – скільки обмежень повинно бути у складі математичної моделі та який їх зміст.

34. Запишіть модель злп в стандартній і канонічній формах. Матрична форма моделей.

Стандартна форма моделі

Знайти сукупність значень змінних які задовольняють систему обмежень:

і умовам невід'ємності: , ,

для яких цільова функція:

досягає максимуму.

Якщо ввести в розгляд матрицю:

і вектори:

, , ,

то стандартна форма моделі прийме вигляд:

Задачу ЛП у стандартній формі зручно вирішувати графічно, якщо число змінних дорівнює двом ( ).

Канонічна форма моделі Знайти сукупність значень змінних які задовольняють систему рівнянь: ( )

і умовам невід'ємності: , ( ),

для яких цільова функція: досягає максимуму.

Компактна форма моделі має вигляд: ,

,

.

35.Як зводиться завдання мінімізації цільової функції до завдання максимізації?

Задача мінімізації цільової функції Z легко може бути зведена до задачі максимізації функції Z1 при тих же обмеженнях шляхом введення функції .

Обидві задачі мають одне і те ж рішення і при цьому

.

Проілюструємо цей факт графічно на прикладі функції однієї змінної:

Рис. 3.1. і досягається в точці . Функція являє собою дзеркальне відображення функції відносно осі ОХ, її максимум досягається в тій же точці , що і мінімум функції . Очевидно, має місце співвідношення .

36.Геометрична інтерпретація рішення лінійних нерівностей з однією, двома, трьома змінними.

Розглянемо нерівність: .

Відомо, що точки, координати яких задовольняють рівнянню , лежать на прямій. Назвемо цю пряму граничною. Гранична пряма розбиває площину на дві півплощини. Координати точок однієї півплощини задовольняють вихідній нерівності а іншої півплощини - нерівності Отже, геометричною інтерпретацією множини розв'язків лінійної нерівності є півплощина, що лежить по одну сторону від граничною прямої, включаючи пряму.

Щоб визначити шукану півплощину, потрібно взяти якусь точку, що не належить граничній прямій, і перевірити, чи задовольняють її координати даній нерівності.

Якщо координати взятої точки задовольняють даній нерівності, то шукана є та півплощина, якій ця точка належить, в іншому випадку - інша півплощина.

37.Що називається допустимим рішенням і ОДР завдання математичного програмування.

Вектор X, що задовольняє системі обмежень ЗЛП, в тому числі і умовам невід'ємності, якщо вони є, називається допустимим рішенням ЗЛП. Сукупність усіх допустимих рішень утворює область допустимих рішень (ОДР) ЗЛП

38.Геометрична інтерпретація рішення системи лінійних нерівностей з двома змінними.

Нехай дана система лінійних нерівностей з двома невідомими:

Загальна частина (перетин) всіх півплощин, відповідних всім нерівностям, буде являти собою ОДР системи лінійних нерівностей.

39.Що називається оптимальним рішенням ЗЛП.

Допустиме рішення, для якого цільова функція досягає максимуму (або мінімуму), називається оптимальним рішенням. Будемо позначати оптимальне рішення.

40.Які випадки можливі при рішенні ЗЛП.

На рис. представлені можливі ситуації, коли ОДР ЗЛП - опуклий багатокутник (а), необмежена опукла багатокутна область (б), єдина точка (в), порожня множина (г), пряма лінія (д), промінь (е), відрізок (ж).

41.Як виражається оптимальне рішення за наявності альтернативного оптимуму.

Якщо вільна змінна γ_j має нульову оцінку, то задача має альтернативний оптимум. Щоб знайти інші оптимальні розв’язки треба побудувати другий базисний оптимальний розв’язок, прийнявши за ключовий стовбець j_k стовбець змінної з γ_j = 0, а потім за допомогою відрізка прямої при 0 ≤ t ≤ 1 знайти інші оптимальні розв’язки.

42.У чому полягає ідея симплекс-методу.

Основна ідея симплекс-метода полягає в тому, що екстремум цільової функції завжди досягається в кутових точках області допустимих рішень. Симплекс-метод, званий також методом послідовного поліпшення плану, реалізує перебір кутових точок області допустимих рішень у напрямі поліпшення значення цільової функції. Основна ідея цього методу наступна. Перш за все, знаходиться яке-небудь допустиме початкове (опорне) рішення, тобто яка-небудь кутова точка області допустимих рішень. Процедура методу дозволяє відповісти на питання, чи є це рішення оптимальним. Якщо "так", то завдання вирішене. Якщо "ні", то виконується перехід до суміжної кутової точки області допустимих рішень, де значення цільової функції поліпшується, тобто до негіршого допустимого рішення. Якщо деяка кутова крапка має декілька суміжних, то обчислювальна процедура методу забезпечує перехід до тієї з них, для якої поліпшення цільової функції буде найбільшим. Процес перебору кутових точок області допустимих рішень повторюється, поки не буде знайдена точка, яка відповідає екстремуму цільової функції.