21. Краткие сведения о функциях Уолша. Свойства функций Уолша.

Существуют различные способы задания ФУ. Наиболее часто используются способы задания их через другие функции – функции Родемахера:

Эта функция принимает значение ±1. Функции Родемахера ортонормированны:

Но они несимметричны и через них вводят ФУ, свободные от этих недостатков.

; W - порядок ФУ

w_i – i-тый разряд номера W в двоичной системе счисления

W=6, n=3 ,

Эти вычисления можно представить в виде таблицы.

Свойства функций Уолша:

1) функция ортонормированна на интервале от 0 до 1:

2) свойство мультипликативности: перемножение ФУ дает ФУ:

3) ФУ могут служить ортогональным базисом для негармонического спектрального представления сигналов.

22. Непараметрические методы оценки законов распределения.

Непараметрический подход используется в том случае, когда нет, и не может быть каких-либо предположений о классе закона распределения. Закон распределения непрерывный и отличен от 0 во всем диапазоне изменения сигнала. Методы: гистограммный , метод Парзена, метод разложения по базисной функции, метод полиномов Смирнова, метод К ближайших соседей.

Наиболее простой-метод гистограмм. Алгоритм:

1)область возможного существования признаков разбивается на подобласти: ∆ _l- многомерный случай; ∆x_l- многомерный случай

2)подсчитывается число наблюдений, которое попало в каждую подобласть;

3)вычисляется оценка:

-одномерное; - многомерное

4)строится график:

Оценка дифференциального закона называется гистограммой.

∑ W_l∆x_l=1

Количество интервалов и их ширина существенно влияют на вид этого закона. На практике количество интервалов: 8-10.

Достоинства гистограмм: простота оценки и явный физический смысл. Недостаток: при увеличении N до бесконечности и неизменном количестве подинтервалов оценка сводится не к точному закону распределения:

Эта оценка несостоятельная. Чтобы это обойти, необходимо при неограниченном объеме выборки ограничить количество подинтервалов и уменьшить их.

Необходимо:

1. lim ∆V=0

N→∞

2. lim V_l = ∞

N→∞

3. lim V_l/N=0

N→∞

1)обеспечивает сходимость пространственно усредненной величины к точному значению при однородном сокращении подобластей и непрерывном законе распределения.

2)выполняется, если во всем диапазоне существования признаков закон распределения не равен 0.

3)необходимо для обеспечения сходимости.

2 способа выполнения этих условий:

а) сжатие начальных подобластей так, чтобы ширина их (объем) была: ∆V_l~1/√N Это метод окна Парзена.

б) метод k ближайших соседей.

При цифровой обработке сигналов есть особенность при построение гистограмм:

1)нельзя бесконечно увеличивать количество подинтервалов, их не может быть больше числа уровней квантования;

2)для малых значений плотностей вероятности относительная погрешность велика.

От недостатков дифференциального закона свободна оценка интегрального закона.

P{x_n≤ x_min+m∆x}=V_m/N, V_m - количество точек выборки , попавших в интервал (x_min+m∆x)

P(x)

-доверительный интервал

x

x min x max

P(x_n< x_min)=0, P(x_n ≤x_max)=1, M_x=1-(x₁,x₂,..x_N)

Для непрерывного сигнала при увеличении N, ступенчатая кривая превращается в непрерывную. Для квантованного сигнала непрерывную линию получить нельзя. На этом графике наносят доверительный интервал. Чтобы вычислить доверительный интервал нужно знать закон распределения вероятности оценки. Если при экспериментальных измерениях закон неизвестен, то количественной оценкой могут послужить мат. ожидание и дисперсия оценки.