14.Анализ шумов в цифровом фильтре первого порядка.

y_n=ky_n-1+x_n ;

;

Если n→∞, то

По этой формуле можем определить уровень шумов на выходе. Эта величина зависит от шага квантования. Величина этого шума тесно связана с числом разрядов выходного регистра.

Рассмотрим конкретный случай. k=0.99. Тогда δ²_вых=4∆_х²; δ_вых=2∆_х – СКО. Чтобы определить число разрядов выходного регистра, необходимо учитывать минимально допустимое отношение с/ш и динамический диапазон полезного сигнала. Пусть шум 40дб, амплитуда сигнала должна в 100 раз превышать СКО шума → разрядность регистра = 200∆. Сам сигнал имеет динамический диапазон 40дб → чтобы записать максимальный сигнал нужно еще в 100 раз увеличить число разрядов = 20000∆.

Из формулы для дисперсии шума видно, что мощность определяется коэффициентом k.

k=1-ε ; →

Мощность шума обратно пропорциональна расстоянию от полюса до единичной окружности.

15. Быстрое преобразование Фурье (бпф).

Основная идея этого алгоритма заключается в том, что мы многократно расчленяем исходную выборку на несколько более коротких выборок и выполняем все вычисления с более короткими выборками, а затем по ним, используя свойство линейности, находим спектр исходной последовательности. БПФ – это тоже дискретное преобразование, только организованное специальным образом.

Рассмотрим реализацию алгоритма:

Запишем ДПФ:

; ;

.

Вычисление спектров:

На основе свойства линейности:

- во второй половине.

Эти формулы лежат в основе БПФ, т.е. когда по спектрам полученных массивов получаем спектр результирующего сигнала.

Обычно их изображают в виде направленного графа:

Рассмотрим массив из 8-ми исходных чисел:

На каждой ступени N/2 – умножений, а всего таких ступеней .

- коэффициент ускорения вычислений

16. Анализ шумов в цифровом резонаторе.

y_n=k₁y_n-1+k₂y_n-2+x_n;

;

Чтобы найти сумму

Мощность шума обратно пропорциональна расстоянию до единичной окружности, но она еще зависит от углового положения полюса, чем меньше Ө, тем больше уровень шума. Это означает, что фильтры с низкой резонансной частотой требуют больше двоичных разрядов.

17. Разновидности бпф.

Существует много вариантов БПФ. Каждый из них позволяет получить дополнительный выигрыш в скорости вычисления для конкретной ситуации, но все они основаны на идеи проведения вычислений не с N-точечным ДПФ, а вычисление нескольких ДПФ меньшей размерности. Различаются способом разделения на мелкие части. Самый простой вариант, когда размеры массива представляют через целую степень 2. Разновидности: с прореживанием по времени и по частоте.

Алгоритм с прореживанием по времени: исходные данные разделяются на четную и нечетную последовательности. Алгоритм с прореживанием по частоте: исходную последовательность делят пополам, и затем вычисляют по ним четные и нечетные отсчеты спектра.

Исходная последовательность делится многократно, пока не дойдем до 2-х точечных массивов. Затем вычисляются промежуточные спектры.

Алгоритм для произвольного .

Разделяют массив: в одном чисел, в другом .

;

;

Окончательное выражение для спектра (n и k подставляем в формулы)

Кроме того, может быть БПФ с произвольным основанием, но чаще с основанием 2,4,16. Существуют еще некоторые специфические алгоритмы.