6.Сравнение методов реализации дискретных фильтров. Пример дискретного фильтра первого порядка.

Различают 3 группы методов реализации цифровых фильтров:

Метод свертки: основан на использовании импульсной характеристики фильтра.

y_n= .Применение этого метода возможно в том случае, если импульсной характеристике {h_n} является конечной во времени.

Метод рекурсии: на основе линейного разностного уравнения.

- это выражение приводит к бесконечной во времени импульсной характеристике (БИХ фильтр).

Метод преобразования Фурье: основан на том, что ДПФ от свертки 2-х функций равно произведению ДПФ 1-й функции на комплексно сопряженное ДПФ другой функции.

Преимущество нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными:

1) нерекурсивные фильтры могут иметь точно линейную ФЧХ;

2) мощность собственных шумов нерекурсивных фильтров гораздо меньше, чем рекурсивных;

3) для нерекурсивного фильтра проще вычисление коэффициентов, т.к. аппроксимирующая функция линейно зависит от коэффициентов С.

4)в системе с изменением частоты дискретизации применение нерекурсивных фильтров сокращает необходимое число арифметических операций.

Недостаток нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными:

1)при одинаковом требовании к АЧХ, отсутствии требований к ФЧХ и постоянной частоте дискретизации нерекурсивные фильтры требуют выполнения большего числа операций.

2)вариант на основе ДПФ м.б. использован для реализации как рекурсивного, так и нерекурсивного фильтра. Используется тогда, когда порядок фильтра очень большой. При большом порядке первые два способа приводят либо к сложным схемам, либо к длительным вычислениям. Преимущество метода на основе ДПФ сказывается при порядке 28-30.

Пример цифрового фильтра первого порядка.

в этом уравнении чтобы фильтр был устойчив, нужно |k|<1. Решение этого уравнения: ; y_-1 – начальные условия, напряжение на выходе фильтра при n=0.

Для этого сигнала x_n решение будет: ; если |k|<1, то при n  получаем:

;

| H|= ;

7. Предельная дискретизация сигналов с ограниченным спектром.

Наиболее завершенной предельной дискретизацией является дискретизация на основе теоремы Котельникова. В соответствии с этой теоремой мы можем восстановить сигнал по дискретным отсчетам по формуле:

; w_в- верхняя частота в спектре сигнала

Если сигнал конечной длительности, то можно взять только N = T/∆t отсчетов:

-погрешность

; - общая погрешность

Это не корректная модель.

Всегда, когда делается дискретизация возникает вопрос восстановления. Восстановление на практике производится двумя способами: фильтрационным и интерполяционным.

Фильтрационный способ основан на теореме Котельникова.

. Фильтр с такой импульсной характеристикой должен иметь частотную характеристику в виде прямоугольника. Но реально это получить не возможно. Возникают ошибки.

В интерполяционном методе нужно сгенерировать N функций:

и просуммировать. Важно правильно выбрать w_в.

Всегда, когда делают преобразование аналогового сигнала в цифровую форму, ставят фильтр.

В связи с этими особенностями восстановление по Котельникову на практике не используется. Основная ценность этой теоремы в том, что она доказывает принципиальную возможность восстановления сигнала. Она справедлива только для детерминированных сигналов. Для случайных процессов теорема справедлива в том случае, если спектр сигнала равномерен и ограничен.

На практике чаще всего используются интерполяционные многочлены. Наиболее распространенный многочлен Ла – Гранжа:

К – порядок многочлена; чем больше к, тем больше отсчетов используется для восстановления. Наиболее распространены интерполяции 0, 1 и 2 порядков.

; - приведенная погрешность

Для того, чтобы правильно выбрать частоту дискретизации в соответствии с формулами, необходимо:

-задается или определяется допустимая погрешность, определяется верхняя частота сигнала;

-по верхней частоте находят допустимый интервал дискретизации;

-выбирают вид интерполяции;

-рассчитывают требуемый шаг дискретизации.