28. Оценка спектра мощности методом периодограмм.
Рассмотрим преобразование Фурье оценки автокорреляции:
;
Оценка корреляции является состоятельной, но ее преобразование Фурье является оценкой несостоятельной (т.е. при увеличении N, дисперсия не стремится к 0). Расчет оценки СПМ довольно сложен и в законченном виде возможен лишь в некоторых частных случаях.
При этом если N увеличивается, то вычисляются новые отсчеты функции.
Свойство несостоятельности затрудняет практическое использование СПМ, однако, простота получения оценки с помощью БПФ позволяет улучшить характеристики. Чтобы улучшить оценки можно использовать сглаживание.
Метод периодограмм состоит из 2х этапов:
1) весь интервал разбивается несколько подинтервалов с целью получения оценки;
2)усреднение результатов, получившихся на нескольких интервалах наблюдения с целью уменьшения дисперсии.
Необходимо так организовать наблюдения, чтобы оценки на разных интервалах были независимы.
29. Передаточные функции дискретных фильтров. Временные и частотные характеристики дискретных фильтров.
Передаточная функция – отношение реакции цепи к воздействию.
H(Z)=Y(Z)/X(Z)
-передаточная
функция рекурсивного фильтра
-
передаточная функция нерекурсивного
фильтра
Эти функции как и в аналоговых цепях облегчают анализ структурной схемы фильтра.
Временные характеристики.
Важнейшей временной характеристикой фильтра является импульсная характеристика.
{hn}- реакция фильтра на воздействие в виде дельта-функции.
Рассматривается при нулевых начальных условиях. Между импульсной характеристикой и передаточной функцией существует математическая связь.
Y(Z)=H(Z)X(Z)
Z[{hn}]=H(Z)
Z-преобразование импульсной характеристики совпадает с передаточной функцией.
{hn}=Z-1[H(Z)]
Частотные характеристики
Эти комплексные частотные характеристики получают путем подстановки в изображение передаточной функции H(Z) Z=ejw∆t.
-для
рекурсивного фильтра
-для
нерекурсивного фильтра
Из этих выражений можно найти АЧХ и ФЧХ фильтра по обычным правилам нахождения модуля и фазы комплексного числа.
A(w)= │H(eiw∆t)│; φ(w)=arg[H(eiw∆t)]
Частотные характеристики дискретных фильтров имеют 2 важных свойства:
1) Z=ejw∆t – периодическая функция. Тогда частотные характеристики тоже являются периодическими функциями.
2) Для цифровых фильтров с вещественными коэффициентами АЧХ – четная функция частоты, а ФЧХ – нечетная функция частоты.
30. Сглаживание спектральных оценок. Основные свойства оконных функций.
Возможны 3 варианта действий:
1) усреднение независимых оценок.
Весь объем N разбивается: N=kM; находится оценка Gl(n) для каждого массива объемом М.
;
l=1,2,…k
- усредненный спектр
Дисперсия
,
при условии, что у каждой из оценок
одинаковая дисперсия. Если k→∞,
то дисперсия → 0. Получается состоятельная
оценка.
2) заключается в том, что сглаживание производится путем свертки с некоторым спектральным окном.
Свертка эквивалентна перемножению отсчетов ковариационной функции на окна во временной области.
3) является компромиссным между 1) и 2): N также разбивается на k отрезков, для каждого из них применяется весовая обработка.
N=kM;
,
где
-
нормирующий множитель
Основные свойства оконных функций:
Существует много параметров, которые количественно оценивают весовые функции и по которым осуществляют их выбор. Наиболее важные из них следующие:
1) эквивалентная шумовая полоса ∆FшN – полоса пропускания фильтра с прямоугольной частотной характеристикой, имеющей такое же максимальное усиление, как и оконная функция и накапливающей такой же шум.
2)ширина главного лепестка на уровне L - ∆FNL
3) соотношение 2х полос:
-
характеризует эффективность оконной
функции в том случае, когда обрабатываемая
последовательность отсчетов представляет
собой сумму гармонических сигналов с
частотами некратными частотам ПФ.
4) когерентное усиление оконных функций – эта величина характеризует усиление гармонического сигнала, частота которого совпадает с одной из базисных частот ДПФ.
5) максимальный уровень боковых лепестков спектра Фурье оконной функции и асимптотическая скорость спадания боковых лепестков при увеличении частоты.
6) паразитная АМ.