Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Волгоградский государственный педагогический университет»

Факультет математики, информатики и физики

Кафедра алгебры и геометрии

Числовые системы

Методические указания к СРС

Специальность 050201 «Математика»

с дополнительной специальностью 050202 «Информатика»

4 курс 8 семестр

Волгоград 2009

Задания для самостоятельного выполнения по следующим темам:

1) «Аксиоматическая теория натуральных чисел»

1. Выяснить, какие из аксиом Пеано выполняются на множестве А с заданной на нем операцией f, где

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

2. Доказать методом математической индукции, что

a) ;

b) ;

c) ;

d) число 2n^3k+4n^k+10 ни при каких натуральных n и k не может быть произведением последовательных натуральных чисел;

e) ;

f) ;

g) ( - фиксированное натуральное число);

h) ;

i) ;

j) ;

k) ;

3. Доказать методом математической индукции, что

2) «Кольцо целых чисел»

1. Доказать методом математической индукции, что

a) ;

b) ;

c) nN, xZ (x1) ;

d) , xZ,

;

e) числа вида 12n+5 (nZ) не могут быть квадратами целых чисел;

f) для любых целых неотрицательных и n числа и ⁴ⁿ⁺¹ оканчиваются одной и той же цифрой;

g) число не может быть четвертой степенью натурального числа, если делится на 9.

2. Найдите такие, что

,

НОД - наибольший общий делитель чисел ,

НОК - наименьшее общее кратное чисел .

a) =150, =25;

b) =210, НОД 15;

c) =387, 126;

d) =1250, НОД 25;

e) =35, НОК 42;

f) НОК 21, 18;

g) НОК 33, 22.

3. Решите в целых числах следующие уравнения:

a) 16x24y=840;

b) 12x+56y=60;

c) 5x+13y=28;

d) 2x+16y=232;

e) 51x+14y=32;

f) 125x+18y=50;

g) 21x15y=51;

h) 81x+25y=153;

i) 82x+15y=26;

j) 2x+17y=231.

3) «Поле рациональных чисел»

1. Дробь несократима. Сократима ли дробь:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Найдите такие, что

,

НОД - наибольший общий делитель чисел ,

НОК - наименьшее общее кратное чисел .

a) НОД 5, 13;

b) , =71;

c) , =630;

d) , 22;

e) , ;

f) НОК 42, ;

g) , =46.

3. Докажите, что рациональное число (где НОД(p,q)=1, pZ, qN) может быть представлено в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда  s,t такие, что q= .

4. Представьте следующие дроби в виде конечных десятичных или в виде бесконечных периодических: a) ; b) ; c) .

5. Представьте следующие десятичные дроби в виде обыкновенных:

a) 0,1(45); b) 0,00(13); c) 1,(945); d) 3,107(9).

4) «Фундаментальные последовательности рациональных чисел»

1. Будут ли следующие последовательности фундаментальными:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) .

2. Докажите фундаментальность следующих последовательностей:

a) 0,2; 0,22; 0,222; 0,2222; ... ;

b) 0,07; 0,077; 0,0777; ... ;

c) 0,003; 0,0033; 0,00333; ... ;

d) 0,4; 0,44; 0,444; ... ;

e) 0,564; 0,56464; 0,5646464; ... .

3. Выяснить, какие из следующих пар последовательностей эквивалентны:

a) и ;

b) и ;

c) 2,3; 2,33; 2,333; 2,3333; ... и ;

d) и .

5) «Поле действительных чисел»

1. Докажите иррациональность числа

a) sin5, если известно, что sin15 иррациональное;

b) cos25, если известно, что cos75  иррациональное число;

c) tg40, если известно, что tg80 иррациональное число;

d) cos3, если известно, что sin9 иррациональное число;

e) sin22, если известно, что sin88 иррациональное число;

f) cos 5, если известно, что cos20 иррациональное число;

g) tg50, если известно, что tg100 иррациональное число;

h) cos35, если известно, что sin105 иррациональное число.

2. Докажите иррациональность числа нахождением уравнения с целыми коэффициентами, корнем которого данное число является:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h) .

3. Выясните, какие из следующих равенств справедливы:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .