Тема 6. Принципы квантовой механики. Уравнение Шредингера.
1. Корпускулярно-волновой дуализм материи. Гипотеза и формула де-Бройля; напишите формулу для нерелятивистской и релятивистской частицы. Какие опыты подтвердили гипотезу де-Бройля о волновой природе частиц материи?
Гипотеза де Бройля: «Со всякой движущейся частицей связан некоторый волновой процесс».
Длина волны де Бройля движущейся
частицы; р - импульс частицы:
.
- Классическая частица
:
- Релятивистская частица
:
Чтобы определить, какую формулу следует
взять, нужно сравнить энергию частицы
с ее энергией покоя:
,
.
Гипотеза де Бройля получила экспериментальное подтверждение в опытах Девиссона и Джермера в 1927 году.
2. Сформулируйте принцип неопределенности. Напишите соотношения неопределенностей Гейзенберга.
Принцип неопределенности: «Существует принципиальное ограничение на точность, с которой могут быть определены физические величины, не связанное с точностью приборов».
Соотношения неопределенностей для
координаты и импульса: «Если измеряется
координата х частицы и одновременно
проекция ее импульса в направлении
х-(
),
то минимальные
ошибки при их одновременном измерении
связаны соотношениями»:
.
Соотношения неопределенностей для
энергии и времени: «Если атомная
система обладает энергией Е в течение
времени t, то одновременное измерение
этих величин возможно лишь с точностью,
определяемой соотношением»:
.
Из соотношений неопределенностей
следует, что чем точнее определяется
одна величина, тем менее точно другая
при одновременном их измерении. Так как
очень мало, то эти ограничения существенны
только в атомных масштабах.
3. Невозможность описания поведения частиц с помощью классического понятия о траектории. Уравнение Шредингера. Напишите уравнение, поясните все величины. Что называют собственными функциями, собственными значениями, вырождением энергетических уровней?
Нельзя говорить о траектории частицы, т.е. о точном ее местоположении в любой момент времени. Вместо слова траектория частицы было введено понятие о вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства.
Нестационарное уравнение Шрёдингера;
решение уравнения позволяет найти
вероятность нахождения частицы в том
или ином мете пространства:
.
U(x,y,z,t) - потенциальная энергия частицы, зависящая в общем случае от координат и времени.
(x,y,z,t) - пси-функция или волновая функция,
физического смысла не имеет, но квадрат
ее модуля
- это вероятность нахождения частицы в
данном месте пространства.
- мнимая единица; m - масса
рассматриваемой частицы;
- оператор Лапласа, дифференцирование
в частных производных.
Стационарное уравнение Шрёдингера:
.
Е - полная энергия частицы; U - потенциальная энергия.
При решении задаём потенциальную энергию
U и массу частицы m, находим полную энергию
частицы Е (собственные значения) и
пси-функцию (собственные функции).
4. Волновая функция или пси-функция
.
Какой вероятностный смысл имеют величины:
? Что называется плотностью вероятности?
Каким условиям должна удовлетворять
пси-функция и ее производные?
- пси-функция физического смысла не имеет.
- плотность вероятности нахождения
частицы:
в единичном объёме,
на единичном отрезке.
- вероятность того, что частица находится
в элементарном объеме dV.
- вероятность того, что частица находится
в конечном объеме V.
- вероятность того, что частица находится
во всем пространстве.
Условия:
1)Пси-функция должна быть:
а)конечной - вероятность не может быть больше 1;
б)непрерывной - вероятность не может внезапно оборваться;
в)однозначной - не может быть две вероятности в одной точке,
2)Производные пси-функции должны быть непрерывны;
3)Пси-функция должна подчиняться условию
нормировки
смысл его в том, что вероятность обнаружить
частицу во всем мыслимом пространстве
равна 1.