57) Производные: постоянной, суммы, произведения, частного

Теорема 2. Если y = c, где c = const, то y' = 0.

Доказательство

Функция y = c принимает значение, равное c для любого аргумента x. Таким образом, Δy = 0при любом x. Следовательно,

Теорема доказана.

Теорема3. Пустьфункции u=u(x), v=v(x) дифференцируемы. Тогда 

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функции u, v получат приращения

Пусть y=u+v, тогда

Воспользовавшись свойством предела суммы функции, получаем

Утверждение 1) теоремы доказано.

Если y = u v, то   Прибавив и отняв в правой части этого равенства произведение  , после перегруппировки слагаемых получим  . Воспользовавшись свойствами предела функции, получаем

Утверждение 2) теоремы доказано.

Теперь, если 

Прибавив и отняв в правой части этого равенства частное  , после перегруппировки слагаемых получим

Далее аналогично доказываем утверждение 3). Теорема доказана.

Из теорем 2,3 следует, что постоянную можно выносить за знак производной, т.е. (cy)' = cy'

58) Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Внимание:  Производная произведения двух функций НЕ РАВНА произведению производных этих функций!

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

59) Теорема. О производной обратной функции.

Если функция y=f(x) дифференцируема в т. х₀ и  обратная к ней функция x=(y),  которая непрерывна в т. y₀=f(х₀), то обратная функция дифференцируема в т. y₀, причем

                     '_y

Доказательство.

Очевидно, что =х (обратная функция непрерывна).Значит

 

                     .

Если х0, то y0, а поэтому

, то есть '_y, что и требовалось доказать.

Пример.

Пусть y=arcsinx, тогда x=siny- обратная ê y=arcsinх. Так как

  , а ,

то для производной функции y=arcsinx имеем

, где учтено что  при  y[-/2,/2], cosy0.

Используя рассмотренные ранее теоремы для других обратных тригонометрических функций имеем:

arccosx =/2-arcsinx  и поэтому (arccosx)'=-  ,

  y=arctgx, x=tgy, а значит

(arctgx)'=,

(arcctgx)'=-

 

 60)

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.  Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция   также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - вточке u=g(x)!  Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.  Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".