50)Второй замечательный предел

или

Следствия

для ,

51) Непрерывность функции на отрезке

Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках.

Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точкеb.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что x  [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β  [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x  [a, b]

Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b).

Cуществование непрерывной обратной функции

Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [α, β] ( α = f(a), β = f(b) ) cуществует обратная функция x =g(y), также строго монотонная и непрерывная на отрезке (α, β).

52) Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;
Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

53) Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Свойства Локальные

Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .
Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .
Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .
Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .