Примеры элементарных преобразований

Продемонстрируем все элементарные преобразования на примере матрицы 

Умножим первую строку матрицы на два, то есть каждый элемент первой строки умножаем на двойку, в результате получим матрицу   , эквивалентную заданной матрице   :

Поменяем первую и вторую строки матрицы   местами, получаем эквивалентную ей матрицу   :

От первой строки матрицы   отнимем вторую строку, получаем эквивалентную матрицу   :

В итоге делаем вывод, что матрицы   и   эквивалентны, так как от одной из них перешли к другой при помощи эквивалентных преобразований над строками.

Эквивалентные матрицы Эквивалентные матрицы – матрицы, которые могут быть получены одна из другой с помощью элементарных преобразований, а именно: 1) перестановкой местами двух строк матрицы; 2) умножением всех элементов строки на число, отличное от нуля; 3) сложением двух строк.

5.Выражение определителя непосредственно через его элементы(для кв. Матриц размера 2*2, 3*3) Определитель квадратной матрицы

Каждой квадратной матрице A порядка n с действительными или комплексными элементами можно однозначно поставить в соответствие действительное или комплексное число D, которое называется определителем матрицы А. Общее выражение для определителя матрицы n-го порядка обычно дается в виде:

det[A] =

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann

= Σ(-1)e a1α1a2α2. . . anαn     (1)

В правой части стоит сумма произведений вида a_1α1a_2α2. . . a_nαn Каждое такое произведение по определению должно содержать элементы матрицы a_ijрасположенные в различных строках и различных столбцах. Иначе говоря, содержащее по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Это значит, что среди всех первых индексов, как и среди всех вторых индексов не должно быть одинаковых. Если расположить первые индексы в порядке их возрастания, как это сделано выше, то совокупность вторых индексов образует некоторую перестановку (α₁, α₂, ..., α_n) множества чисел от 1 до n. Так как число всех перестановок из n чисел равно n! (n факториал), то можно образовать такое же количество; произведений a_1α1a_2α2. . . a_nαn из элементов данной матрицы (при нулевых элементах некоторые из них равняются нулю). Определитель равен сумме всех таких произведений, взятых со знаком (-1)^e где е - число инверсий перестановки вторых индексов (α₁, α₂, ..., α_n). Вместо множителя (-1)^e можно писать знак sgn(α), который положительный для четного числа инверсий и отрицательный для нечетного числа инверсий в перестановке номеров вторых индексов (α₁, α₂, ..., α_n). Порядок определителя совпадает с порядком его матрицы. Элементы a_ij матрицы А называют также элементами определителя |А|, а произведения (-1)^ea_1α1a_2α2. . . a_nαn -членами определителя.

Из общего правила вычисления определителя легко получить частные формулы для вычисления определителей любого порядка. Так для определителя 2-го порядка получаем следующую формулу:

det[A] =

a11 a12 a21 a22

= a11a22 - a12a22     (2)

Аналогично для определителя 3-го порядка :

det[A] =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a32

= a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 -a13a22a31 -a11a23a32 -a12a21a33      (3)

Как видно, индексы столбцов всех членов определителя третьего порядка определяются перестановками (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3), число инверсий которых равно соответственно 0, 2, 2, 3, 1, 1. Общее выражение определителя n-го порядка является удобным для исследования и доказательства его свойств, но для "ручного" вычисления определителей используются другие более практичные методы, основанные на свойствах определителей.